同角关系与诱导公式

本节导读

同角关系和诱导公式是三角函数的「化简工具」。选择题、填空题里常见的是三类题：已知一个三角函数值，求其余的函数值；求 $\sin 150^{\circ}$sin150∘、$\cos\dfrac{7\pi}{6}$cos67π​ 这类非锐角的函数值；化简一个含有 $\pi - \alpha$π−α、$\dfrac{\pi}{2} + \alpha$2π​+α 的式子。

学完这一节，你应该能熟练使用两个同角关系，会用「奇变偶不变，符号看象限」的口诀处理诱导公式，并能把任意角的三角函数化成锐角的三角函数。

同角三角函数的基本关系

同一个角 $\alpha$α 的正弦、余弦、正切之间有两个关系，对任意使式子有意义的 $\alpha$α 都成立：

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \qquad \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$sin2α+cos2α=1,tanα=cosαsinα​

第一个叫平方关系，第二个叫商数关系。它们的常用变形有：$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$sin2α=1−cos2α，$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$cos2α=1−sin2α，以及 $(\sin\alpha \pm \cos\alpha)^2 = 1 \pm 2\sin\alpha\cos\alpha$(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα。

已知一个值求其余的值

方法是：先用平方关系求出另一个函数值的绝对值，再根据角所在的象限确定符号，最后用商数关系求正切。

例：已知 $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$sinα=53​，且 $\alpha$α 是第二象限角。则 $\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$cos2α=1−259​=2516​，$\cos\alpha = \pm\dfrac{4}{5}$cosα=±54​。第二象限的余弦为负，所以 $\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$cosα=−54​，$\tan\alpha = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}$tanα=−4/53/5​=−43​。

已知正切求齐次式的值

如果分子分母都是 $\sin\alpha$sinα、$\cos\alpha$cosα 的一次式，可以分子分母同除以 $\cos\alpha$cosα，化成关于 $\tan\alpha$tanα 的式子。例如已知 $\tan\alpha = 2$tanα=2，则：

$$\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$$sinα−cosαsinα+cosα​=tanα−1tanα+1​=2−12+1​=3

诱导公式

口诀和常用公式

诱导公式能把「大角」「负角」的三角函数化成锐角的三角函数。口诀是「奇变偶不变，符号看象限」：对形如 $\dfrac{k\pi}{2} \pm \alpha$2kπ​±α 的角，当 $k$k 是偶数时函数名不变，当 $k$k 是奇数时函数名改变（正弦变余弦，余弦变正弦）；符号则把 $\alpha$α 看作锐角，由原来的函数在所得角的象限里的符号决定。

角	$\sin$sin	$\cos$cos	$\tan$tan
$-\alpha$−α	$-\sin\alpha$−sinα	$\cos\alpha$cosα	$-\tan\alpha$−tanα
$\pi - \alpha$π−α	$\sin\alpha$sinα	$-\cos\alpha$−cosα	$-\tan\alpha$−tanα
$\pi + \alpha$π+α	$-\sin\alpha$−sinα	$-\cos\alpha$−cosα	$\tan\alpha$tanα
$\dfrac{\pi}{2} - \alpha$2π​−α	$\cos\alpha$cosα	$\sin\alpha$sinα	化成 $\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$sinαcosα​
$\dfrac{\pi}{2} + \alpha$2π​+α	$\cos\alpha$cosα	$-\sin\alpha$−sinα	化成 $-\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$−sinαcosα​

另外，加上整数个周期，函数值不变：$\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha$sin(α+2kπ)=sinα，$\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha$cos(α+2kπ)=cosα，$\tan(\alpha + k\pi) = \tan\alpha$tan(α+kπ)=tanα。

化简求值的步骤

求任意角的函数值，按下面三步走：负角化成正角，大角减去 $2\pi$2π 的整数倍化到 $0$0 到 $2\pi$2π 之间，再用诱导公式化成锐角。