直线的方程与位置关系

本节导读

平面解析几何用代数的方法研究几何图形，直线是它的第一站。选择题、填空题里常考：由两点求斜率、写直线方程、判断两条直线平行或垂直、求点到直线的距离、求两条直线的交点；解答题里的圆和圆锥曲线问题，也要用到直线的知识。

学完这一节，你应该能熟练写出直线方程的各种形式，会根据斜率判断位置关系，会用公式求距离。

直线的倾斜角与斜率

一条直线向上的方向与 $x$x 轴正方向所成的最小正角叫做倾斜角 $\alpha$α，范围是 $0^{\circ} \le \alpha < 180^{\circ}$0∘≤α<180∘。倾斜角不等于 $90^{\circ}$90∘ 时，它的正切值叫做斜率，记作 $k = \tan\alpha$k=tanα。

经过两点 $P_1(x_1, y_1)$P1​(x1​,y1​)，$P_2(x_2, y_2)$P2​(x2​,y2​)（$x_1 \ne x_2$x1​=x2​）的直线，斜率为：

$$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$k=x2​−x1​y2​−y1​​

斜率与倾斜角的关系：$\alpha$α 是锐角时 $k > 0$k>0；$\alpha$α 是钝角时 $k < 0$k<0；$\alpha = 0^{\circ}$α=0∘ 时 $k = 0$k=0；$\alpha = 90^{\circ}$α=90∘ 时斜率不存在。例如倾斜角为 $120^{\circ}$120∘ 的直线，斜率 $k = \tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$k=tan120∘=−3​。

直线方程的形式

名称	方程	适用条件
点斜式	$y - y_0 = k(x - x_0)$y−y0​=k(x−x0​)	斜率存在
斜截式	$y = kx + b$y=kx+b	斜率存在，$b$b 是 $y$y 轴上的截距
两点式	$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$y2​−y1​y−y1​​=x2​−x1​x−x1​​	$x_1 \ne x_2$x1​=x2​，$y_1 \ne y_2$y1​=y2​
截距式	$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ax​+by​=1	$a \ne 0$a=0，$b \ne 0$b=0
一般式	$Ax + By + C = 0$Ax+By+C=0	$A$A、$B$B 不同时为 $0$0

特殊情形：垂直于 $x$x 轴的直线方程是 $x = a$x=a（斜率不存在），平行于 $x$x 轴的直线方程是 $y = b$y=b。一般式 $Ax + By + C = 0$Ax+By+C=0 中，当 $B \ne 0$B=0 时斜率 $k = -\dfrac{A}{B}$k=−BA​。

例：求过点 $(2, -1)$(2,−1)、斜率为 $3$3 的直线方程。用点斜式 $y + 1 = 3(x - 2)$y+1=3(x−2)，化成一般式 $3x - y - 7 = 0$3x−y−7=0。

例：求过 $(1, 2)$(1,2) 和 $(3, 6)$(3,6) 的直线方程。斜率 $k = \dfrac{6 - 2}{3 - 1} = 2$k=3−16−2​=2，点斜式 $y - 2 = 2(x - 1)$y−2=2(x−1)，即 $y = 2x$y=2x。

两条直线的位置关系

平行与垂直

设直线 $l_1$l1​：$y = k_1 x + b_1$y=k1​x+b1​，$l_2$l2​：$y = k_2 x + b_2$y=k2​x+b2​，则：

位置关系	斜率条件
平行	$k_1 = k_2$k1​=k2​ 且 $b_1 \ne b_2$b1​=b2​
垂直	$k_1 k_2 = -1$k1​k2​=−1
相交	$k_1 \ne k_2$k1​=k2​

用一般式 $A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$A1​x+B1​y+C1​=0 和 $A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$A2​x+B2​y+C2​=0 判断更方便：平行的条件是 $A_1 B_2 - A_2 B_1 = 0$A1​B2​−A2​B1​=0（并且两直线不重合），垂直的条件是 $A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$A1​A2​+B1​B2​=0。

由此得到两个设方程的小技巧：与直线 $Ax + By + C = 0$Ax+By+C=0 平行的直线可设为 $Ax + By + C' = 0$Ax+By+C′=0；与它垂直的直线可设为 $Bx - Ay + C' = 0$Bx−Ay+C′=0，再代入已知点求 $C'$C′。

例：求过点 $(1, 0)$(1,0) 且与直线 $2x - y + 1 = 0$2x−y+1=0 平行的直线。设 $2x - y + C' = 0$2x−y+C′=0，代入 $(1, 0)$(1,0) 得 $2 + C' = 0$2+C′=0，$C' = -2$C′=−2，所求直线是 $2x - y - 2 = 0$2x−y−2=0。与它垂直的直线可设为 $x + 2y + C' = 0$x+2y+C′=0，代入得 $1 + C' = 0$1+C′=0，所求直线是 $x + 2y - 1 = 0$x+2y−1=0。

交点

两条相交直线的交点，就是它们方程联立的解。例如 $x + y = 3$x+y=3 与 $2x - y = 0$2x−y=0，两式相加得 $3x = 3$3x=3，$x = 1$x=1，$y = 2$y=2，交点是 $(1, 2)$(1,2)。

点到直线的距离

点 $P(x_0, y_0)$P(x0​,y0​) 到直线 $Ax + By + C = 0$Ax+By+C=0 的距离是：

$$d = \frac{\lvert Ax_0 + By_0 + C\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$d=A2+B2​∣Ax0​+By0​+C∣​