圆的方程与直线和圆

本节导读

圆是平面解析几何里最常见的曲线之一。选择题、填空题里常考：由方程求圆心和半径、根据条件写圆的方程、判断直线与圆的位置关系、求切线方程和弦长，解答题里则常常把直线与圆结合起来出题。

学完这一节，你应该能在标准方程和一般方程之间互相转化，会用「圆心到直线的距离」判断位置关系，并会求切线与弦长。

圆的方程

标准方程和一般方程

圆心为 $(a, b)$(a,b)、半径为 $r$r（$r > 0$r>0）的圆的标准方程是：

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$(x−a)2+(y−b)2=r2

圆心在原点时就是 $x^2 + y^2 = r^2$x2+y2=r2。把标准方程展开，得到一般方程：

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \quad (D^2 + E^2 - 4F > 0)$$x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)

它表示圆心为 $\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$(−2D​,−2E​)、半径为 $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$r=21​D2+E2−4F​ 的圆。条件 $D^2 + E^2 - 4F > 0$D2+E2−4F>0 一定要检验，否则方程可能表示一个点，或者什么图形也不表示。

由一般方程求圆心和半径，最稳的办法是配方。例：把 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$x2+y2−4x+6y−3=0 配方：

$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3 + 4 + 9 = 16$$(x−2)2+(y+3)2=3+4+9=16

所以圆心是 $(2, -3)$(2,−3)，半径是 $4$4。注意标准方程里是 $x - a$x−a 和 $y - b$y−b，所以 $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$(x+1)2+(y−2)2=9 的圆心是 $(-1, 2)$(−1,2)，符号和括号里的相反。

求圆的方程

常用待定系数法：知道圆心和半径，用标准方程；只知道圆上的三个点，用一般方程列三元一次方程组。

例：求圆心为 $(1, -2)$(1,−2)、且过点 $(4, 2)$(4,2) 的圆的方程。半径 $r$r 就是圆心到该点的距离：$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 + 2)^2} = 5$r=(4−1)2+(2+2)2​=5，所以方程是 $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$(x−1)2+(y+2)2=25。

直线与圆的位置关系

用圆心到直线的距离判断

设圆心到直线的距离为 $d$d，圆的半径为 $r$r：

位置关系	公共点个数	$d$d 与 $r$r 的关系
相离	$0$0	$d > r$d>r
相切	$1$1	$d = r$d=r
相交	$2$2	$d < r$d<r

例：直线 $3x + 4y - 5 = 0$3x+4y−5=0 与圆 $x^2 + y^2 = 4$x2+y2=4。圆心 $(0, 0)$(0,0) 到直线的距离 $d = \dfrac{\lvert -5\rvert}{\sqrt{9 + 16}} = 1 < 2 = r$d=9+16​∣−5∣​=1<2=r，所以相交。

弦长

直线与圆相交时，被圆截得的弦长是：

$$\lvert AB\rvert = 2\sqrt{r^2 - d^2}$$∣AB∣=2r2−d2​

这是由半弦、弦心距和半径构成的直角三角形得到的。接上例，弦长 $= 2\sqrt{4 - 1} = 2\sqrt{3}$=24−1​=23​。

圆的切线

求切线方程分两种情形：

• 点在圆上：切线垂直于过该点的半径。圆 $x^2 + y^2 = r^2$x2+y2=r2 上一点 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 处的切线方程是 $x_0 x + y_0 y = r^2$x0​x+y0​y=r2。例如圆 $x^2 + y^2 = 25$x2+y2=25 上点 $(3, 4)$(3,4) 处的切线是 $3x + 4y = 25$3x+4y=25。
• 点在圆外：过该点有两条切线。设直线方程，利用 $d = r$d=r 求出参数；设点斜式时，别忘了检验斜率不存在的那条直线（竖直线）是不是切线。

易错提醒

• ❌ 认为 $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$(x+1)2+(y−2)2=9 的圆心是 $(1, -2)$(1,−2)，半径是 $9$9。
  ✅ 圆心坐标与括号里的符号相反，是 $(-1, 2)$(−1,2)；$9$9 是半径的平方，半径是 $3$3。