统计初步

本节导读

统计初步讲的是：怎样从总体中取出有代表性的样本，怎样把样本数据整理成图表，又怎样用几个数字概括这批数据。这一部分的题目一般比较直接，常见的是三种抽样方法的计算、从直方图里读频率和频数、求一组数据的平均数与方差。只要公式和图表的含义弄清楚，基本都能拿分。

学完这一节，你应该能区分三种抽样方法并做相应的计算，会读频率分布直方图，会计算样本的平均数、方差和标准差，并知道数据整体变换后这几个量怎样变化。

抽样方法

要考察的全体对象叫作总体，其中每一个对象叫作个体；从总体中抽出的一部分个体叫作样本，样本中个体的数目叫作样本容量。我们用样本的情况去估计总体。

方法	适用情形	做法要点
简单随机抽样	总体个数较少	逐个不放回地随机抽取，常用抽签法、随机数表法
系统抽样	总体个数较多，个体之间没有明显差别	先编号，按间隔 $k = \dfrac{N}{n}$k=nN​ 分段，第一段随机取一个号，以后每隔 $k$k 取一个
分层抽样	总体由差异明显的几部分组成	按各部分在总体中所占的比例分配样本数，各部分内再抽

三种方法有一个共同点：总体中每个个体被抽到的机会都相等，概率都是 $\dfrac{n}{N}$Nn​（$n$n 是样本容量，$N$N 是总体个数）。

系统抽样中 $N$N 不能被 $n$n 整除时，先随机剔除几个个体，再分段。第 $m$m 段抽到的号码是第 $1$1 段抽到的号码加上 $(m-1)k$(m−1)k。

例：从编号为 $1$1 到 $800$800 的 $800$800 名学生中用系统抽样抽取 $40$40 人，间隔 $k = \dfrac{800}{40} = 20$k=40800​=20。若第 $1$1 段抽到 $7$7 号，则第 $3$3 段抽到 $7 + 2 \times 20 = 47$7+2×20=47 号。

例：某校高一、高二、高三各有学生 $400$400、$300$300、$300$300 人，用分层抽样抽取 $50$50 人。抽样比为 $\dfrac{50}{1000} = \dfrac{1}{20}$100050​=201​，所以三个年级依次抽取 $20$20、$15$15、$15$15 人。

频率分布直方图

把数据分成若干组，每组数据的个数叫作频数，频数与样本容量的比叫作频率，各组频率之和为 $1$1。整理的步骤：求极差，决定组距和组数，分组，列出频率分布表，画直方图。

下面是 $50$50 名学生一次测验成绩的频率分布表（组距为 $10$10）：

分组	频数	频率	$\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$组距频率​
$[50, 60)$[50,60)	$4$4	$0.08$0.08	$0.008$0.008
$[60, 70)$[60,70)	$10$10	$0.20$0.20	$0.020$0.020
$[70, 80)$[70,80)	$18$18	$0.36$0.36	$0.036$0.036
$[80, 90)$[80,90)	$12$12	$0.24$0.24	$0.024$0.024
$[90, 100]$[90,100]	$6$6	$0.12$0.12	$0.012$0.012

频率分布直方图的横轴表示数据的分组，纵轴表示 $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$组距频率​。因此：

• 每个小矩形的面积 = 组距 $\times \dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$×组距频率​ = 这一组的频率；
• 所有小矩形的面积之和等于 $1$1；
• 频数 = 频率 $\times$× 样本容量。

读图时要抓住：先看纵轴是不是“频率 / 组距”，再用“高 $\times$× 组距”得到频率。比如 $[70, 80)$[70,80) 这一组，小矩形的高是 $0.036$0.036，频率是 $0.036 \times 10 = 0.36$0.036×10=0.36，人数是 $0.36 \times 50 = 18$0.36×50=18。最高的小矩形所在的组，组中点可以作为数据的众数的估计。

样本平均数、方差与标准差

设样本数据为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$x1​,x2​,⋯,xn​，则

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}, \qquad s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$$xˉ=nx1​+x2​+⋯+xn​​,s2=n(x1​−xˉ)2+(x2​−xˉ)2+⋯+(xn​−xˉ)2​

$\bar{x}$xˉ 叫作样本平均数，$s^2$s2 叫作样本方差，方差的算术平方根 $s = \sqrt{s^2}$s=s2​ 叫作样本标准差。平均数描述数据的集中位置，方差和标准差描述数据的波动大小，越小说明越稳定。我们用样本的平均数和方差去估计总体的平均数和方差。