两角和与差、二倍角公式

本节导读

两角和与差的公式、二倍角公式是三角恒等变换的主体。试卷里常见的有：求 $\sin 75^{\circ}$sin75∘、$\cos 15^{\circ}$cos15∘ 这类非特殊角的值，已知两个角的某些函数值求它们的和或差的函数值，用二倍角公式求值，以及把 $\sin x + \cos x$sinx+cosx 化成一个角的正弦，再研究最大值和周期。

学完这一节，你应该能默写六个和差公式和三个二倍角公式，会选择合适的公式变形，并会用辅助角公式合并正弦和余弦。

两角和与差的公式

下面六个公式是整个三角变换的基础，要能默写出来：

名称	公式
正弦的和	$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
正弦的差	$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
余弦的和	$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
余弦的差	$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
正切的和	$\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ​
正切的差	$\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$tan(α−β)=1+tanαtanβtanα−tanβ​

记忆口诀：正弦公式「异名相乘、符号不变」，也就是正弦乘余弦、余弦乘正弦，中间的符号和左边一样；余弦公式「同名相乘、符号相反」，也就是余弦乘余弦、正弦乘正弦，中间的符号和左边相反。

用法一：把非特殊角拆成特殊角的和或差。例如 $\sin 75^{\circ} = \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$sin75∘=sin(45∘+30∘)=22​​⋅23​​+22​​⋅21​=46​+2​​。

用法二：已知两个角的函数值，求它们和或差的函数值。例如 $\alpha$α、$\beta$β 都是锐角，$\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$sinα=53​，$\cos\beta = \dfrac{5}{13}$cosβ=135​，则 $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$cosα=54​，$\sin\beta = \dfrac{12}{13}$sinβ=1312​，于是

$$\sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{63}{65}$$sin(α+β)=53​⋅135​+54​⋅1312​=6563​

二倍角公式

在和角公式里令 $\beta = \alpha$β=α，就得到二倍角公式：

名称	公式
正弦	$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$sin2α=2sinαcosα
余弦	$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α
正切	$\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$tan2α=1−tan2α2tanα​

余弦的二倍角公式有三种形式，已知什么就选含有什么的那一种：已知 $\cos\alpha$cosα 用 $2\cos^2\alpha - 1$2cos2α−1，已知 $\sin\alpha$sinα 用 $1 - 2\sin^2\alpha$1−2sin2α。由后两种形式移项，还得到降幂公式：$\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$cos2α=21+cos2α​，$\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$sin2α=21−cos2α​。

例 1：已知 $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$sinα=53​，$\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$α∈(2π​,π)，则 $\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$cosα=−54​，$\sin 2\alpha = 2 \times \dfrac{3}{5} \times \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}$sin2α=2×53​×(−54​)=−2524​，$\cos 2\alpha = 1 - 2 \times \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}$cos2α=1−2×259​=257​。

例 2：$\sin 15^{\circ}\cos 15^{\circ} = \dfrac{1}{2}\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{4}$sin15∘cos15∘=21​sin30∘=41​；$\cos^2 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ} = \cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$cos215∘−sin215∘=cos30∘=23​​。看到「$2\sin\cos$2sincos」或「$\cos^2 - \sin^2$cos2−sin2」的形状，就要想到二倍角公式的逆用。

辅助角公式

形如 $a\sin x + b\cos x$asinx+bcosx 的式子，可以化成一个角的正弦：提出 $\sqrt{a^2 + b^2}$a2+b2​，再逆用和差公式。常见的三个结果要熟悉：

原式	化简结果
$\sin x + \cos x$sinx+cosx	$\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$2​sin(x+4π​)
$\sqrt{3}\sin x + \cos x$3​sinx+cosx	$2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)$2sin(x+6π​)
$\sin x - \sqrt{3}\cos x$sinx−3​cosx	$2\sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)$2sin(x−3π​)