平面向量

本节导读

平面向量在试卷里一般是选择题或填空题，考法很固定：用坐标做加减、数乘运算，求向量的模，求数量积，由「平行」或「垂直」的条件求参数，求两个向量的夹角。只要记住几个坐标公式，这类题基本是送分题。

学完这一节，你应该能用三角形法则做向量的加减，会写出向量的坐标，会用坐标公式求数量积、模和夹角，并会判断向量的平行与垂直。

向量的概念与线性运算

既有大小又有方向的量叫向量，向量 $\vec{a}$a 的大小叫做它的模，记作 $\lvert\vec{a}\rvert$∣a∣。模为 $0$0 的向量叫零向量，模为 $1$1 的向量叫单位向量。方向相同且模相等的向量是相等向量。

向量的线性运算包括加法、减法和数乘：

• 加法（三角形法则）：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$AB+BC=AC，首尾相接，从起点指向终点；
• 减法：$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$AB−AC=CB，同起点，指向被减向量的终点；
• 数乘：$\lambda\vec{a}$λa 的模是 $\lvert\lambda\rvert\lvert\vec{a}\rvert$∣λ∣∣a∣，$\lambda > 0$λ>0 时与 $\vec{a}$a 同向，$\lambda < 0$λ<0 时反向。

向量共线（平行）的条件：当 $\vec{b} \ne \vec{0}$b=0 时，$\vec{a} \parallel \vec{b}$a∥b 等价于存在实数 $\lambda$λ，使 $\vec{a} = \lambda\vec{b}$a=λb。

例：化简 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD}$AB+BC−AD。先用加法 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$AB+BC=AC，再用减法 $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$AC−AD=DC，结果是 $\overrightarrow{DC}$DC。

向量的坐标运算

设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$a=(x1​,y1​)，$\vec{b} = (x_2, y_2)$b=(x2​,y2​)，则有：

运算	坐标公式
加减	$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2,\ y_1 \pm y_2)$a±b=(x1​±x2​, y1​±y2​)
数乘	$\lambda\vec{a} = (\lambda x_1,\ \lambda y_1)$λa=(λx1​, λy1​)
模	$\lvert\vec{a}\rvert = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$∣a∣=x12​+y12​​
由两点求向量	$A(x_1, y_1)$A(x1​,y1​)，$B(x_2, y_2)$B(x2​,y2​)，则 $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$AB=(x2​−x1​, y2​−y1​)

注意：向量的坐标是「终点坐标减起点坐标」。例：$\vec{a} = (2, 1)$a=(2,1)，$\vec{b} = (-1, 3)$b=(−1,3)，则 $\vec{a} + 2\vec{b} = (2 - 2,\ 1 + 6) = (0, 7)$a+2b=(2−2, 1+6)=(0,7)，$\lvert\vec{a}\rvert = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$∣a∣=4+1​=5​。

向量的数量积

定义和坐标公式

两个向量的夹角 $\theta$θ 的范围是 $[0, \pi]$[0,π]。向量 $\vec{a}$a 与 $\vec{b}$b 的数量积（点乘）定义为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert\cos\theta$a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ，它是一个实数，不是向量。用坐标计算时：

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2, \qquad \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert}$$a⋅b=x1​x2​+y1​y2​,cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b​

常用的性质有：$\vec{a} \cdot \vec{a} = \lvert\vec{a}\rvert^2$a⋅a=∣a∣2；$\lvert\vec{a} \pm \vec{b}\rvert^2 = \lvert\vec{a}\rvert^2 \pm 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \lvert\vec{b}\rvert^2$∣a±b∣2=∣a∣2±2a⋅b+∣b∣2；数量积为正则夹角为锐角（或零角），为负则夹角为钝角（或平角）。

例：$\vec{a} = (1, 2)$a=(1,2)，$\vec{b} = (3, -1)$b=(3,−1)，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 - 2 = 1$a⋅b=3−2=1，$\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10}$cosθ=5​×10​1​=102​​。

例：$\lvert\vec{a}\rvert = 2$∣a∣=2，$\lvert\vec{b}\rvert = 3$∣b∣=3，夹角 $60^{\circ}$60∘，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 3$a⋅b=2×3×21​=3，$\lvert\vec{a} + \vec{b}\rvert^2 = 4 + 2 \times 3 + 9 = 19$∣a+b∣2=4+2×3+9=19，所以 $\lvert\vec{a} + \vec{b}\rvert = \sqrt{19}$∣a+b∣=19​。