空间点线面的位置关系

本节导读

立体几何是理工农医类才考的内容，常见于选择题，也可能出解答题（证明加计算），各年的搭配不完全一样。这一节是立体几何的「语法」：先把点、线、面之间的位置关系和判定定理、性质定理搞清楚，下一节再学空间角与距离，最后一节学表面积和体积。

这一节的内容多是概念和定理，题目常以「下列命题正确的是」「直线与平面的位置关系是」的形式出现。要特别留意每个定理的条件，少一个条件，结论就不一定成立。

平面的基本性质

平面是无限延展的，没有厚薄。立体几何的三个基本事实（公理）是：

• 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
• 不在同一条直线上的三个点，确定一个平面。由此还有三个推论：一条直线和这条直线外的一点确定一个平面；两条相交直线确定一个平面；两条平行直线确定一个平面。
• 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

由第二条可知：梯形是平面图形，因为它有两边平行；而四个顶点不在同一平面内的四边形（空间四边形）不是平面图形。

空间两条直线的位置关系

空间两条直线有三种位置关系：

位置关系	公共点	是否共面
相交	有且只有一个	共面
平行	没有	共面
异面	没有	不共面（不在任何一个平面内）

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。也就是 $a \parallel b$a∥b，$b \parallel c$b∥c，则 $a \parallel c$a∥c。

要特别注意：平面几何里「垂直于同一条直线的两条直线平行」的结论，在空间里不成立，这两条直线可能平行，也可能相交或异面。

直线与平面的位置关系

直线与平面有三种位置关系：直线在平面内（有无数个公共点），直线与平面相交（只有一个公共点），直线与平面平行（没有公共点）。直线与平面相交且垂直，是相交的特殊情形。

平行与垂直的判定和性质

下表把直线与平面、平面与平面的平行、垂直的判定和性质放在一起，是本节最重要的内容：

关系	判定	性质
线面平行	平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行	线面平行，则过这条直线的平面与该平面的交线和这条直线平行
线面垂直	一条直线与平面内的两条相交直线都垂直	直线垂直于平面内的所有直线；垂直于同一平面的两条直线平行

两个平面的位置关系

两个平面有两种位置关系：平行（没有公共点）和相交（有一条公共直线）。

关系	判定	性质
面面平行	一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面	两个平行平面被第三个平面所截，交线平行；一个平面内的任何直线都平行于另一个平面
面面垂直	一个平面经过另一个平面的一条垂线	两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

这些定理的共同特点是「把立体问题化成平面问题」：证明线面平行，就在平面内找一条平行线；证明线面垂直，就找平面内两条相交的垂线；证明面面垂直，就在一个平面内找另一个平面的垂线。