二次函数

本节导读

二次函数是函数部分的重头戏：求最值、求值域、判断单调区间、解一元二次不等式，背后都是二次函数的图像；解答题里也常常用到它。一次函数更简单，主要考图像的位置和待定系数法求解析式。

学完这一节，你应该能写出一次函数和二次函数的各种解析式，会配方求顶点和对称轴，会求二次函数在闭区间上的最大值和最小值，并会用待定系数法求解析式。

一次函数

形如 $y = kx + b$y=kx+b（$k \ne 0$k=0）的函数叫一次函数，图像是一条直线。$k$k 叫斜率：$k > 0$k>0 时函数在 $\mathbf{R}$R 上是增函数，$k < 0$k<0 时是减函数。$b$b 是直线在 $y$y 轴上的截距，直线与 $x$x 轴的交点是 $\left(-\dfrac{b}{k}, 0\right)$(−kb​,0)。

求一次函数的解析式用待定系数法：设 $y = kx + b$y=kx+b，把已知的两个点代入，解关于 $k$k、$b$b 的方程组。

例：直线过点 $(1, 3)$(1,3) 和 $(2, 5)$(2,5)。代入得 $k + b = 3$k+b=3，$2k + b = 5$2k+b=5，两式相减得 $k = 2$k=2，再得 $b = 1$b=1，所以 $y = 2x + 1$y=2x+1。

二次函数的图像和性质

三种解析式

形如 $y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c（$a \ne 0$a=0）的函数叫二次函数，它有三种常用的写法：

名称	解析式	什么时候用
一般式	$y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c	已知任意三个点
顶点式	$y = a(x - h)^2 + k$y=a(x−h)2+k	已知顶点或最值、对称轴
零点式	$y = a(x - x_1)(x - x_2)$y=a(x−x1​)(x−x2​)	已知与 $x$x 轴的两个交点

顶点、对称轴和开口

把一般式配方：

$$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$$y=a(x+2ab​)2+4a4ac−b2​

由此得到：对称轴是直线 $x = -\dfrac{b}{2a}$x=−2ab​，顶点坐标是 $\left(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac - b^2}{4a}\right)$(−2ab​,4a4ac−b2​)。二次函数的性质由开口方向 $a$a 的符号决定：

性质	$a > 0$a>0	$a < 0$a<0
开口方向	向上	向下
最值	在顶点处取最小值	在顶点处取最大值
单调性	对称轴左侧递减，右侧递增	对称轴左侧递增，右侧递减

图像与 $x$x 轴的交点个数由判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$Δ=b2−4ac 决定：$\Delta > 0$Δ>0 时有两个交点，$\Delta = 0$Δ=0 时有一个交点（顶点在 $x$x 轴上），$\Delta < 0$Δ<0 时没有交点。

二次函数的最值

在整个实数范围内，最值就在顶点处取得。在闭区间 $[m, n]$[m,n] 上，要先看对称轴 $x = h$x=h 与区间的位置关系：

• 对称轴在区间内部（$m \le h \le n$m≤h≤n）：顶点处取到最小值（$a > 0$a>0）或最大值（$a < 0$a<0），另一种最值在离对称轴较远的那个端点处取得。
• 对称轴在区间外面：函数在区间上单调，最大值和最小值都在两个端点处取得。

例：求 $y = x^2 - 4x + 1$y=x2−4x+1 在 $[0, 3]$[0,3] 上的最值。配方得 $y = (x - 2)^2 - 3$y=(x−2)2−3，对称轴 $x = 2$x=2 在区间内，最小值是 $-3$−3。端点处 $y(0) = 1$y(0)=1，$y(3) = -2$y(3)=−2，最大值是 $1$1。所以值域是 $[-3, 1]$[−3,1]。

用待定系数法求二次函数的解析式

先根据条件选解析式的形式，再代入条件求出系数：

• 已知顶点（或最值与对称轴）：设顶点式，再代入另一个点求 $a$a。
• 已知与 $x$x 轴的交点：设零点式，再代入另一个点求 $a$a。
• 已知三个一般的点：设一般式，解三元一次方程组。

例：二次函数的顶点是 $(1, -4)$(1,−4)，且过点 $(0, -3)$(0,−3)。设 $y = a(x - 1)^2 - 4$y=a(x−1)2−4，代入 $(0, -3)$(0,−3) 得 $a - 4 = -3$a−4=−3，所以 $a = 1$a=1，解析式是 $y = (x - 1)^2 - 4 = x^2 - 2x - 3$y=(x−1)2−4=x2−2x−3。

换一个条件：图像过 $(-1, 0)$(−1,0)、$(3, 0)$(3,0)、$(0, -3)$(0,−3)。设 $y = a(x + 1)(x - 3)$y=a(x+1)(x−3)，代入 $(0, -3)$(0,−3) 得 $-3a = -3$−3a=−3，$a = 1$a=1，得到的仍是 $y = x^2 - 2x - 3$y=x2−2x−3。

易错提醒

• ❌ 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c 的对称轴写成 $x = \dfrac{b}{2a}$x=2ab​。
  ✅ 对称轴是 $x = -\dfrac{b}{2a}$x=−2ab​，别漏了负号。

• ❌ 求 $y = 2x^2 - 4x + 5$y=2x2−4x+5 的最小值时，配方成 $2(x - 1)^2 + 4$2(x−1)2+4。
  ✅ 提出 2 以后 $2(x^2 - 2x) + 5 = 2(x - 1)^2 - 2 + 5 = 2(x - 1)^2 + 3$2(x2−2x)+5=2(x−1)2−2+5=2(x−1)2+3，减掉的 1 要乘以 2，最小值是 3。

• ❌ 求闭区间上的最值时，不看对称轴在不在区间里，直接用顶点。
  ✅ 先判断对称轴的位置：在区间外时，最值在端点处取得。

• ❌ 已知顶点却设一般式，一个劲儿地解方程组。
  ✅ 已知顶点就设顶点式，已知两个零点就设零点式，计算量小得多。

• ❌ 函数 $y = (m - 1)x^2 + 2x$y=(m−1)x2+2x 是二次函数，却忘了条件。
  ✅ 二次函数要求二次项系数 $m - 1 \ne 0$m−1=0，即 $m \ne 1$m=1。

例题精讲

例题 1

二次函数 $y = -x^2 + 2x + 3$y=−x2+2x+3 的最大值是（　　）

A. $3$3　　B. $4$4　　C. $5$5　　D. $2$2

答案：B

解析：$a = -1 < 0$a=−1<0，开口向下，在顶点处取最大值。对称轴 $x = -\dfrac{2}{2 \times (-1)} = 1$x=−2×(−1)2​=1，代入得 $y = -1 + 2 + 3 = 4$y=−1+2+3=4，所以最大值是 $4$4，选 B。A 是函数在 $x = 0$x=0 处的值，不是最大值。

例题 2

二次函数的图像顶点为 $(2, -1)$(2,−1)，且过点 $(0, 3)$(0,3)，则它的解析式是（　　）

A. $y = x^2 - 4x + 3$y=x2−4x+3　　B. $y = x^2 + 4x + 3$y=x2+4x+3　　C. $y = -x^2 + 4x + 3$y=−x2+4x+3　　D. $y = x^2 - 4x - 1$y=x2−4x−1

答案：A

解析：已知顶点，设 $y = a(x - 2)^2 - 1$y=a(x−2)2−1。代入 $(0, 3)$(0,3)：$4a - 1 = 3$4a−1=3，得 $a = 1$a=1。所以 $y = (x - 2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 3$y=(x−2)2−1=x2−4x+3，选 A。B 的对称轴在 $x = -2$x=−2，C 开口向下，D 不过点 $(0, 3)$(0,3)。

例题 3

函数 $f(x) = x^2 - 2x - 3$f(x)=x2−2x−3 在区间 $[0, 4]$[0,4] 上的值域是（　　）

A. $[-3, 5]$[−3,5]　　B. $[-4, -3]$[−4,−3]　　C. $[-4, 5]$[−4,5]　　D. $[-4, +\infty)$[−4,+∞)

答案：C

解析：配方得 $f(x) = (x - 1)^2 - 4$f(x)=(x−1)2−4，对称轴 $x = 1$x=1 在区间 $[0, 4]$[0,4] 内，最小值是 $f(1) = -4$f(1)=−4。比较端点：$f(0) = -3$f(0)=−3，$f(4) = 16 - 8 - 3 = 5$f(4)=16−8−3=5，最大值是 $5$5。值域是 $[-4, 5]$[−4,5]，选 C。D 没有考虑区间的限制。

本节小结

• 一次函数 $y = kx + b$y=kx+b：$k$k 决定增减，$b$b 是 $y$y 轴上的截距；用待定系数法由两点求解析式。
• 二次函数有一般式、顶点式、零点式三种写法，对称轴是 $x = -\dfrac{b}{2a}$x=−2ab​，顶点纵坐标是 $\dfrac{4ac - b^2}{4a}$4a4ac−b2​。
• $a > 0$a>0 开口向上，有最小值；$a < 0$a<0 开口向下，有最大值。
• 闭区间上求最值，先看对称轴是否在区间内：在内部，最值在顶点和较远端点；在外部，最值在两端点。
• 求解析式时，看已知条件选形式：顶点用顶点式，两个零点用零点式，三个点用一般式。