函数的单调性与奇偶性

本节导读

单调性和奇偶性是函数最重要的两个性质，几乎每年的选择题里都有它们：判断一个函数是奇函数还是偶函数、写出函数的单调区间、用单调性比较大小，或者由奇偶性求参数、求函数值。后面的指数函数、对数函数、三角函数也都要用到这两个性质。

学完这一节，你应该能用图像和定义判断函数的单调性，会按固定步骤判断奇偶性，并能把奇偶性与单调性结合起来比较函数值的大小。

函数的单调性

增函数与减函数

设函数 $f(x)$f(x) 在区间 $D$D 上有定义。如果对于 $D$D 内任意两个自变量 $x_1 < x_2$x1​<x2​，都有 $f(x_1) < f(x_2)$f(x1​)<f(x2​)，就说 $f(x)$f(x) 在 $D$D 上是增函数；如果都有 $f(x_1) > f(x_2)$f(x1​)>f(x2​)，就说 $f(x)$f(x) 在 $D$D 上是减函数。区间 $D$D 叫做函数的单调区间。从图像上看，增函数的图像从左到右上升，减函数的图像从左到右下降。

常见函数的单调性要熟记：

函数	单调性
$y = kx + b$y=kx+b	$k > 0$k>0 时在 $\mathbf{R}$R 上是增函数，$k < 0$k<0 时在 $\mathbf{R}$R 上是减函数
$y = x^2$y=x2	在 $(-\infty, 0]$(−∞,0] 上是减函数，在 $[0, +\infty)$[0,+∞) 上是增函数
$y = x^3$y=x3	在 $\mathbf{R}$R 上是增函数
$y = \sqrt{x}$y=x​	在 $[0, +\infty)$[0,+∞) 上是增函数
$y = \dfrac{1}{x}$y=x1​	在 $(-\infty, 0)$(−∞,0) 和 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上分别是减函数

用定义判断单调性

定义法的步骤可以记成五个字：取、作差、变形、定号、结论。

例：证明 $f(x) = \dfrac{1}{x}$f(x)=x1​ 在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上是减函数。任取 $0 < x_1 < x_2$0<x1​<x2​，作差并通分：

$$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$$f(x1​)−f(x2​)=x1​1​−x2​1​=x1​x2​x2​−x1​​

因为 $x_2 - x_1 > 0$x2​−x1​>0，$x_1 x_2 > 0$x1​x2​>0，所以 $f(x_1) - f(x_2) > 0$f(x1​)−f(x2​)>0，即 $f(x_1) > f(x_2)$f(x1​)>f(x2​)，所以 $f(x)$f(x) 在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上是减函数。

函数的奇偶性

定义和图像特征

如果函数 $f(x)$f(x) 的定义域关于原点对称，并且对定义域内任意的 $x$x：

• 都有 $f(-x) = f(x)$f(−x)=f(x)，则 $f(x)$f(x) 是偶函数，它的图像关于 $y$y 轴对称；
• 都有 $f(-x) = -f(x)$f(−x)=−f(x)，则 $f(x)$f(x) 是奇函数，它的图像关于原点对称。

如果奇函数在 $x = 0$x=0 处有定义，那么 $f(0) = 0$f(0)=0。

判断奇偶性的步骤

第一步，看定义域是否关于原点对称，不对称就是非奇非偶函数。第二步，计算 $f(-x)$f(−x)。第三步，把 $f(-x)$f(−x) 与 $f(x)$f(x)、$-f(x)$−f(x) 比较，得出结论。

常见函数的奇偶性：

函数	奇偶性
$y = x$y=x，$y = x^3$y=x3，$y = \dfrac{1}{x}$y=x1​	奇函数
$y = x^2$y=x2，$y = \lvert x \rvert$y=∣x∣，$y = 1$y=1	偶函数
$y = x + 1$y=x+1，$y = \sqrt{x}$y=x​，$y = x^2 + x$y=x2+x	非奇非偶函数

例：判断 $f(x) = x^2 + x$f(x)=x2+x 的奇偶性。定义域是 $\mathbf{R}$R，关于原点对称。$f(-x) = x^2 - x$f(−x)=x2−x，它既不等于 $f(x)$f(x)，也不等于 $-f(x)$−f(x)，所以是非奇非偶函数。

单调性与奇偶性的综合运用

奇偶性与单调性之间有两条关系：偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同。

偶函数还有一个常用的转化：$f(-x) = f(x)$f(−x)=f(x)，所以 $f(-3) = f(3)$f(−3)=f(3)。比较偶函数的函数值时，先把自变量都变到同一侧，再用单调性。

例：已知偶函数 $f(x)$f(x) 在 $[0, +\infty)$[0,+∞) 上是增函数，比较 $f(-2)$f(−2)、$f(1)$f(1)、$f(3)$f(3) 的大小。先化成同侧：$f(-2) = f(2)$f(−2)=f(2)。因为 $1 < 2 < 3$1<2<3，且 $f(x)$f(x) 在 $[0, +\infty)$[0,+∞) 上递增，所以 $f(1) < f(2) < f(3)$f(1)<f(2)<f(3)，即 $f(1) < f(-2) < f(3)$f(1)<f(−2)<f(3)。

易错提醒

• ❌ 不看定义域，就说 $f(x) = x^2$f(x)=x2，$x \in [-1, 2]$x∈[−1,2] 是偶函数。
  ✅ 定义域 $[-1, 2]$[−1,2] 不关于原点对称，所以它是非奇非偶函数。

• ❌ 说 $y = \dfrac{1}{x}$y=x1​ 在整个定义域上是减函数。
  ✅ 它在 $(-\infty, 0)$(−∞,0) 和 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上分别是减函数，两个区间不能用「并」连起来写，因为取 $x_1 = -1$x1​=−1，$x_2 = 1$x2​=1 时，$f(x_1) < f(x_2)$f(x1​)<f(x2​)。

• ❌ 说 $y = x^2$y=x2 在 $\mathbf{R}$R 上是增函数。
  ✅ 它在 $(-\infty, 0]$(−∞,0] 上是减函数，在 $[0, +\infty)$[0,+∞) 上是增函数，单调区间要分段写。

• ❌ 认为奇函数的图像一定经过原点。
  ✅ 只有 $x = 0$x=0 在定义域内时才有 $f(0) = 0$f(0)=0；$y = \dfrac{1}{x}$y=x1​ 是奇函数，但图像不过原点。

• ❌ 判断奇偶性时只验证了一个具体的数，如 $f(-1) = f(1)$f(−1)=f(1) 就说是偶函数。
  ✅ 必须对定义域内任意的 $x$x 都成立。

例题精讲

例题 1

下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上单调递增的是（　　）

A. $y = x^3$y=x3　　B. $y = \lvert x \rvert + 1$y=∣x∣+1　　C. $y = -x^2$y=−x2　　D. $y = \dfrac{1}{x}$y=x1​

答案：B

解析：A 与 D 都是奇函数，不符合偶函数的要求。C 是偶函数，但在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上是减函数。B 中 $f(-x) = \lvert -x \rvert + 1 = \lvert x \rvert + 1 = f(x)$f(−x)=∣−x∣+1=∣x∣+1=f(x)，是偶函数；当 $x > 0$x>0 时 $y = x + 1$y=x+1 递增，符合要求，选 B。

例题 2

已知 $f(x)$f(x) 是定义在 $\mathbf{R}$R 上的奇函数，当 $x > 0$x>0 时，$f(x) = x^2 + 2x$f(x)=x2+2x，则 $f(-1)$f(−1) 的值是（　　）

A. $3$3　　B. $-3$−3　　C. $1$1　　D. $-1$−1

答案：B

解析：$-1 < 0$−1<0，不能直接代入已知的式子。利用奇函数的性质 $f(-1) = -f(1)$f(−1)=−f(1)，而 $1 > 0$1>0，$f(1) = 1^2 + 2 \times 1 = 3$f(1)=12+2×1=3，所以 $f(-1) = -3$f(−1)=−3，选 B。选 A 是忘了奇函数要变号。

例题 3

函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3$f(x)=x2−2ax+3 在区间 $[1, +\infty)$[1,+∞) 上是增函数，则实数 $a$a 的取值范围是（　　）

A. $a \ge 1$a≥1　　B. $a \le 1$a≤1　　C. $a \ge -1$a≥−1　　D. $a \le -1$a≤−1

答案：B

解析：$f(x) = (x - a)^2 + 3 - a^2$f(x)=(x−a)2+3−a2 的图像是开口向上的抛物线，对称轴是 $x = a$x=a，在 $[a, +\infty)$[a,+∞) 上递增。要使 $f(x)$f(x) 在 $[1, +\infty)$[1,+∞) 上递增，区间 $[1, +\infty)$[1,+∞) 必须在对称轴右侧，即 $a \le 1$a≤1，选 B。

本节小结

• 增函数：自变量越大函数值越大，图像上升；减函数相反。单调区间要写成区间，不同区间不能用并集符号连接。
• 判断单调性的定义法：取值、作差、变形、定号、结论。
• 奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再比较 $f(-x)$f(−x) 与 $f(x)$f(x)：相等是偶函数，互为相反数是奇函数。
• 偶函数图像关于 $y$y 轴对称，奇函数图像关于原点对称；奇函数在 $x = 0$x=0 处有定义时 $f(0) = 0$f(0)=0。
• 偶函数比较大小时，先用 $f(-x) = f(x)$f(−x)=f(x) 把自变量变到同一侧，再用单调性。