概率

本节导读

概率题的题面都是生活里的情境：掷骰子、摸球、投篮、抽查产品。难点不在计算，而在判断：这件事属于哪一类？该用哪个公式？这一节把四类常见的概率问题分开讲清楚，每一类给出适用条件，题目一来先做判断，再动笔计算。

学完这一节，你应该能用排列组合计算等可能事件的概率，会用对立事件求“至少”型的概率，会区分互斥事件与相互独立事件，并会计算独立重复试验中恰好发生 $k$k 次的概率。

等可能事件的概率

在一次试验中，可能出现的每一个结果叫作基本事件。如果所有基本事件的个数是 $n$n，并且每个基本事件出现的可能性相等，事件 $A$A 包含的基本事件有 $m$m 个，那么事件 $A$A 的概率是

$$P(A) = \frac{m}{n}$$P(A)=nm​

概率总满足 $0 \le P(A) \le 1$0≤P(A)≤1：必然事件的概率是 $1$1，不可能事件的概率是 $0$0。

用这个公式的前提是“等可能”。要确认每个基本事件出现的机会均等，再用排列组合分别数出 $n$n 和 $m$m。

试验	基本事件总数 $n$n	事件	事件数 $m$m	概率
掷一枚骰子	$6$6	点数为偶数	$3$3	$\dfrac{1}{2}$21​
同时掷两枚骰子	$36$36	点数之和为 $7$7	$6$6	$\dfrac{1}{6}$61​
从 $5$5 红 $3$3 白的袋中取 $2$2 球	$C_8^2 = 28$C82​=28	取到的都是红球	$C_5^2 = 10$C52​=10	$\dfrac{5}{14}$145​

数基本事件时，每次试验里的对象要始终一致：要么都看作有顺序，要么都看作无顺序，否则分子分母的口径对不上。

互斥事件与对立事件

不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件。若 $A$A、$B$B 互斥，则 $A$A 与 $B$B 至少有一个发生的概率是

$$P(A + B) = P(A) + P(B)$$P(A+B)=P(A)+P(B)

这个公式可以推广到多个两两互斥的事件。

如果两个互斥事件中必有一个发生，这样的两个事件叫作对立事件。事件 $A$A 的对立事件记作 $\overline{A}$A，有

$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$P(A)=1−P(A)

对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立。

“至少有一个”“至多有一个”这类问题，如果直接分类情况太多，就先算它的对立事件，再用 $1$1 去减。比如“至少有一个红球”的对立事件是“一个红球也没有”。

例：某射手一次射击，命中 $10$10 环的概率是 $0.3$0.3，命中 $9$9 环的概率是 $0.4$0.4。命中 $10$10 环和命中 $9$9 环是互斥的，所以“至少命中 $9$9 环”的概率是 $0.3 + 0.4 = 0.7$0.3+0.4=0.7，“命中不到 $9$9 环”的概率是 $1 - 0.7 = 0.3$1−0.7=0.3。

相互独立事件

如果事件 $A$A 是否发生对事件 $B$B 发生的概率没有影响，那么 $A$A、$B$B 叫作相互独立事件。相互独立事件 $A$A、$B$B 同时发生的概率是

$$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$$P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

这个公式可以推广到多个相互独立的事件。如果 $A$A 与 $B$B 相互独立，那么 $A$A 与 $\overline{B}$B、$\overline{A}$A 与 $B$B、$\overline{A}$A 与 $\overline{B}$B 也都相互独立。

概念	含义	概率公式
互斥事件	不能同时发生	$P(A + B) = P(A) + P(B)$P(A+B)=P(A)+P(B)
对立事件	互斥，并且必有一个发生	$P(A) + P(\overline{A}) = 1$P(A)+P(A)=1
相互独立事件	一个发生与否不影响另一个	$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

互斥与独立是两个不同的概念，不要混用。互斥讲的是“不能同时发生”，所以同时发生的概率是 $0$0；独立讲的是“互不影响”，同时发生的概率是两个概率的积。

例：甲、乙两人各自投篮一次，命中的概率分别是 $0.8$0.8 和 $0.7$0.7，互不影响。则

• 两人都命中：$0.8 \times 0.7 = 0.56$0.8×0.7=0.56；
• 两人都没命中：$0.2 \times 0.3 = 0.06$0.2×0.3=0.06；
• 至少一人命中：$1 - 0.06 = 0.94$1−0.06=0.94；
• 恰有一人命中：$0.8 \times 0.3 + 0.2 \times 0.7 = 0.38$0.8×0.3+0.2×0.7=0.38。

独立重复试验

在同样的条件下重复做同一个试验，每次试验只有“发生”与“不发生”两种结果，各次试验互相独立，并且每次发生的概率都是 $p$p，这样的试验叫作独立重复试验。在 $n$n 次独立重复试验中，事件恰好发生 $k$k 次的概率是