解答题突破（二）：导数综合题

本节导读

导数在解答题里考的是一套固定写法。第 12 节《导数的应用》导读说「解答题经常给出一个三次函数，让你求单调区间、求极值、求闭区间上的最大值和最小值」，又说「这类题的解法是固定的：求导，解方程 $f'(x) = 0$f′(x)=0，列表看符号，再写结论」。这套写法还要用到本课第 4 节《函数的概念、定义域与值域》（定义域）、第 5 节《函数的单调性与奇偶性》（单调区间怎么写）、第 6 节《二次函数》（导数是二次式时找零点、判符号）和第 11 节《导数的概念与运算》（求导与切线）。

第 12 节把单调、极值、最值、应用题分成四段讲，例题都是选择题。这一节不讲新公式，做三件事：定下五步写法和每一步落在卷面上的那句话；用两道原创多小问题，把切线、单调区间、极值和闭区间最值连成整题；再补一道面积应用题，按「列式→求导→验证最值」写完。学完要做到：拿到导数题先写定义域，每一问的结论单独成行，判断单调和极值的那张表也写在卷面上。

这一块在试卷里怎么考

解答题 4 道、共 49 分，各题分值不同，这是第 1 节《考试介绍与备考方法》给的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院公告为准）；第 1 节内容表「导数、复数」一行写着「导数考切线、单调性、极值最值；复数考四则运算」。导数题在解答题里占几分，各资料说法不一，这里不写死。

问法有五种：在某点处的切线；单调区间；极值；闭区间上的最大值和最小值；实际问题里的最大、最小值。一道题可以把其中两三种连成几问。第 12 节导读还提到「由单调性、极值反过来求参数」，给出切线反求参数也是同一路数。

容易丢分的有五处（第 4、11、12 节易错提醒）：定义域按约分以后的式子求；切线斜率用了切点的函数值；导数为零的点都当成极值点；单调区间用并集连起来；闭区间求最值漏比端点。

方法归纳

五步写法，每一步落在卷面上的那句话和依据如下：

步骤	卷面上写的那句话	依据
① 定义域	「函数的定义域是……」	第 4 节：按原式列条件，分母不为 0，偶次根式下非负
② 求导	「$f'(x)=\ldots$f′(x)=…」，能分解就写成几个因式的积	第 11 节的公式与法则
③ 找分界点	「令 $f'(x)=0$f′(x)=0，得 $x=\ldots$x=…」，定义域外的根写「舍去」	第 6、12 节
④ 列表	第一行 $x$x 的分段，第二行 $f'(x)$f′(x) 的符号，第三行 $f(x)$f(x) 的增减	第 12 节
⑤ 写结论	「增区间是……，减区间是……」「$x=x_0$x=x0​ 时取得极大值 $f(x_0)=\ldots$f(x0​)=…」	第 5、12 节

切线、最值和应用题，在这五步之外各多写几句：

问法	五步之外多写的	出处
已知切点求切线	切点处的导数值就是斜率，代点斜式 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$y−f(x0​)=f′(x0​)(x−x0​)	第 11 节
由切线反求参数	切点既在曲线上、又在切线上：函数值与切线在 $x_0$x0​ 处的值相等，$f'(x_0)$f′(x0​) 等于切线斜率，列两个方程	第 11 节
闭区间 $[a,b]$[a,b] 上的最值	只把区间内的驻点和 $f(a)$f(a)、$f(b)$f(b) 拿来比	第 12 节
应用题	写出目标函数和自变量的实际范围；范围内只有一个极值点时，说明它就是最值点；最后作答	第 4、12 节

题型拆解

题型 1：切线，以及由切线反求参数

识别特征：要么直接要某一点的切线方程；要么切线已经给定，反过来定函数里的字母。

分步解法：求导，算切点的纵坐标和斜率，代点斜式。比如曲线 $y=x^3-x$y=x3−x 在点 $(-1,0)$(−1,0) 处：$y'=3x^2-1$y′=3x2−1，斜率 $k=2$k=2，切线是 $y=2x+2$y=2x+2。反求参数时把这几步倒过来：切线方程给出了两个数——切点处的函数值和斜率，各列一个方程。

常见陷阱：拿切点的纵坐标当斜率（第 11 节易错提醒）；反求参数只列了斜率那一个方程，两个字母解不出来。

题型 2：单调与极值，以及闭区间上的最值

识别特征：要单调区间、极值，或者要 $[a,b]$[a,b] 上的最大最小值；函数里有分式、根式的，先看定义域。

分步解法：五步照写，判符号时看因式和最前面的系数。比如 $f(x)=-2x^3+9x^2+24x$f(x)=−2x3+9x2+24x，$f'(x)=-6x^2+18x+24=-6(x+1)(x-4)$f′(x)=−6x2+18x+24=−6(x+1)(x−4)。系数 $-6$−6 是负的，所以 $(x+1)(x-4)\lt0$(x+1)(x−4)<0，即 $-1\lt x\lt4$−1<x<4 时 $f'(x)\gt0$f′(x)>0：增区间是 $(-1,4)$(−1,4)，减区间是 $(-\infty,-1)$(−∞,−1) 和 $(4,+\infty)$(4,+∞)，极小值 $f(-1)=-13$f(−1)=−13，极大值 $f(4)=112$f(4)=112。限定了 $[a,b]$[a,b] 的，再算 $f(a)$f(a)、$f(b)$f(b) 和区间内驻点的值，挑最大、最小。

常见陷阱：导数的二次项系数是负数，照「大于取两边」直接判，增减全反（第 3 节易错提醒：先乘 $-1$−1 再套口诀）；定义域在中间断开时，断点两侧并成一个区间写；限定了 $[a,b]$[a,b] 却直接拿极值当最值，不算 $f(a)$f(a)、$f(b)$f(b)；或把 $[a,b]$[a,b] 外的驻点也算进来。

题型 3：应用题（列式→求导→验证最值）

识别特征：问「……多少时面积（容积）最大」「怎样用料最省」。

分步解法：① 设一个变量，用题里的等量关系把目标量写成它的函数；② 写出变量的实际范围；③ 求导找驻点；④ 范围内只有一个极值点，说明它是最大（小）值点；⑤ 回到问题作答。比如用长 16 厘米、宽 10 厘米的矩形铁皮，四角各剪去边长为 $x$x 的小正方形，折成无盖盒子，容积 $V=x(16-2x)(10-2x)$V=x(16−2x)(10−2x)，范围由短边决定：$10-2x\gt0$10−2x>0，所以 $0\lt x\lt5$0<x<5。

常见陷阱：范围按长边写成 $0\lt x\lt8$0<x<8；只求出驻点，不说明它为什么是最大值点；问面积却答了边长。

易错提醒

• ❌ 先求导、解不等式，最后才想起定义域。✅ 定义域写在第一行，按原式求（第 4 节）；后面找零点、写区间都只在定义域里进行。

• ❌ 解出 $f'(x)=0$f′(x)=0 的根，不看两侧就写成极值点。✅ 两侧导数一正一负才是极值点；第 12 节的 $y=x^3$y=x3 在 $x=0$x=0 两侧导数都是正的，就不是。

• ❌ 把两段增区间并成一个，写「在 $(-\infty,0)\cup(3,+\infty)$(−∞,0)∪(3,+∞) 上递增」；或者把极值写成自变量，如「极小值是 $x=3$x=3」。✅ 两段各写各的，中间用「和」或逗号；极值指函数值，写「$x=3$x=3 时取得极小值 $-27$−27」（第 12 节易错提醒）。