数列的概念与等差数列

本节导读

数列在试卷里的分量不小：选择题、填空题常考某一项的值、公差或公比、前 $n$n 项和，解答题里还常常出一道「已知条件，求通项公式和前 $n$n 项和」的题。这一节先把数列的基本概念讲清楚，再讲等差数列；下一节讲等比数列。

学完这一节，你应该能分清项数、通项和前 $n$n 项和，会由 $S_n$Sn​ 求 $a_n$an​，能熟练使用等差数列的两个公式，并会用基本量的思想列方程求解。

数列的概念

按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。第一项叫首项，记作 $a_1$a1​，第 $n$n 项记作 $a_n$an​。如果第 $n$n 项 $a_n$an​ 与项数 $n$n 之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的通项公式。例如数列 $1, 3, 5, 7, \cdots$1,3,5,7,⋯ 的通项公式是 $a_n = 2n - 1$an​=2n−1。

数列 $\{a_n\}${an​} 的前 $n$n 项的和叫做前 $n$n 项和，记作 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$Sn​=a1​+a2​+⋯+an​。$S_n$Sn​ 与 $a_n$an​ 之间有一个重要的关系：

$$a_n = \begin{cases} S_1, & n = 1 \\ S_n - S_{n-1}, & n \ge 2 \end{cases}$$an​={S1​,Sn​−Sn−1​,​n=1n≥2​

用它由 $S_n$Sn​ 求 $a_n$an​ 时，必须分 $n = 1$n=1 和 $n \ge 2$n≥2 两种情况，最后检查 $n = 1$n=1 时算出的结果能不能并入同一个式子。

例：已知 $S_n = n^2 + 2n$Sn​=n2+2n。当 $n = 1$n=1 时，$a_1 = S_1 = 3$a1​=S1​=3。当 $n \ge 2$n≥2 时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - [(n - 1)^2 + 2(n - 1)] = 2n + 1$an​=Sn​−Sn−1​=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1。把 $n = 1$n=1 代入 $2n + 1$2n+1 得 $3$3，与 $a_1$a1​ 相符，所以通项公式是 $a_n = 2n + 1$an​=2n+1。

等差数列

定义和通项公式

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，记作 $d$d。即 $a_{n+1} - a_n = d$an+1​−an​=d。

内容	公式
通项公式	$a_n = a_1 + (n - 1)d$an​=a1​+(n−1)d
推广	$a_n = a_m + (n - m)d$an​=am​+(n−m)d
等差中项	$a$a、$A$A、$b$b 成等差数列，则 $A = \dfrac{a + b}{2}$A=2a+b​
性质	若 $m + n = p + q$m+n=p+q，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$am​+an​=ap​+aq​

性质里的特例要熟悉：$a_m + a_n = 2a_k$am​+an​=2ak​（当 $m + n = 2k$m+n=2k 时），比如 $a_3 + a_7 = 2a_5$a3​+a7​=2a5​。

前 n 项和公式

等差数列的前 $n$n 项和有两个公式，已知首项和末项用第一个，已知首项和公差用第二个：

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$$Sn​=2n(a1​+an​)​=na1​+2n(n−1)​d

例 1：等差数列中 $a_1 = 3$a1​=3，$d = 2$d=2。则 $a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 21$a10​=3+9×2=21，$S_{10} = \dfrac{10 \times (3 + 21)}{2} = 120$S10​=210×(3+21)​=120。

例 2：等差数列中 $a_3 = 7$a3​=7，$a_7 = 15$a7​=15。由 $a_7 - a_3 = 4d$a7​−a3​=4d 得 $d = 2$d=2，再由 $a_3 = a_1 + 2d$a3​=a1​+2d 得 $a_1 = 3$a1​=3，所以 $a_n = 3 + (n - 1) \times 2 = 2n + 1$an​=3+(n−1)×2=2n+1。

基本量的思想

等差数列有五个量：$a_1$a1​、$d$d、$n$n、$a_n$an​、$S_n$Sn​。两个公式把它们联系在一起，只要知道其中三个，就能求出另外两个。解题时先把已知条件翻译成关于 $a_1$a1​ 和 $d$d 的方程（组），解出 $a_1$a1​ 和 $d$d，其他量就都能求了。

易错提醒

• ❌ 等差数列的通项公式写成 $a_n = a_1 + nd$an​=a1​+nd。
  ✅ 第 $n$n 项比第 1 项多了 $n - 1$n−1 个公差，$a_n = a_1 + (n - 1)d$an​=a1​+(n−1)d。

• ❌ 由 $S_n$Sn​ 求 $a_n$an​ 时，直接用 $a_n = S_n - S_{n-1}$an​=Sn​−Sn−1​，不管 $n = 1$n=1。
  ✅ $n = 1$n=1 要单独算 $a_1 = S_1$a1​=S1​，再看它是否符合 $n \ge 2$n≥2 时的式子。

• ❌ 性质写成 $a_m + a_n = a_{m+n}$am​+an​=am+n​。
  ✅ 只有下标和相等才能互换：$m + n = p + q$m+n=p+q 时，$a_m + a_n = a_p + a_q$am​+an​=ap​+aq​。

• ❌ 数出 $3, 7, 11, \cdots, 99$3,7,11,⋯,99 的项数时，算成 $\dfrac{99 - 3}{4} = 24$499−3​=24 项。
  ✅ 项数 $n = \dfrac{99 - 3}{4} + 1 = 25$n=499−3​+1=25，别忘了加 1。

• ❌ 数列 $10, 7, 4, \cdots$10,7,4,⋯ 的公差写成 $3$3。
  ✅ 公差是后一项减前一项，$d = 7 - 10 = -3$d=7−10=−3。

例题精讲

例题 1

在等差数列 $\{a_n\}${an​} 中，$a_2 = 5$a2​=5，$a_6 = 17$a6​=17，则 $a_{10}$a10​ 等于（　　）

A. $26$26　　B. $29$29　　C. $32$32　　D. $35$35

答案：B

解析：由 $a_6 - a_2 = 4d$a6​−a2​=4d 得 $17 - 5 = 4d$17−5=4d，所以 $d = 3$d=3。再用推广公式 $a_{10} = a_6 + 4d = 17 + 12 = 29$a10​=a6​+4d=17+12=29，选 B。也可以用性质：$a_2$a2​、$a_6$a6​、$a_{10}$a10​ 的下标成等差，所以它们也成等差数列，$a_{10} = 2a_6 - a_2 = 34 - 5 = 29$a10​=2a6​−a2​=34−5=29。

例题 2

等差数列 $\{a_n\}${an​} 中，$a_1 = -5$a1​=−5，公差 $d = 3$d=3，则前 8 项的和 $S_8$S8​ 等于（　　）

A. $44$44　　B. $64$64　　C. $24$24　　D. $84$84

答案：A

解析：用第二个公式：$S_8 = 8 \times (-5) + \dfrac{8 \times 7}{2} \times 3 = -40 + 84 = 44$S8​=8×(−5)+28×7​×3=−40+84=44，选 A。D 只算了第二项 $84$84，漏了 $8a_1 = -40$8a1​=−40。

例题 3

已知数列 $\{a_n\}${an​} 的前 $n$n 项和 $S_n = 2n^2 - n$Sn​=2n2−n，则 $a_n$an​ 等于（　　）

A. $4n - 3$4n−3　　B. $4n - 1$4n−1　　C. $2n - 1$2n−1　　D. $4n + 1$4n+1

答案：A

解析：$n = 1$n=1 时，$a_1 = S_1 = 2 - 1 = 1$a1​=S1​=2−1=1。$n \ge 2$n≥2 时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 - n) - [2(n - 1)^2 - (n - 1)] = 4n - 3$an​=Sn​−Sn−1​=(2n2−n)−[2(n−1)2−(n−1)]=4n−3。检验 $n = 1$n=1：$4 \times 1 - 3 = 1$4×1−3=1，与 $a_1$a1​ 相符，所以 $a_n = 4n - 3$an​=4n−3，选 A。

本节小结

• 数列是按顺序排列的一列数；$S_n$Sn​ 是前 $n$n 项和，$a_n = S_n - S_{n-1}$an​=Sn​−Sn−1​（$n \ge 2$n≥2），$a_1 = S_1$a1​=S1​，两种情况要分开写并检验能否合并。
• 等差数列：$a_{n+1} - a_n = d$an+1​−an​=d，通项 $a_n = a_1 + (n - 1)d$an​=a1​+(n−1)d。
• 前 $n$n 项和：$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \dfrac{n(n - 1)}{2}d$Sn​=2n(a1​+an​)​=na1​+2n(n−1)​d。
• 性质：$m + n = p + q$m+n=p+q 时 $a_m + a_n = a_p + a_q$am​+an​=ap​+aq​；$a_3 + a_7 = 2a_5$a3​+a7​=2a5​ 这类中项关系很常用。
• 遇到等差数列的题，先把条件化成 $a_1$a1​ 和 $d$d 的方程，这是最稳的做法。