柱锥球的表面积与体积

本节导读

几何体的表面积和体积是立体几何里最容易得分的部分：公式固定，只要代对数就行。选择题、填空题常直接考某个几何体的体积或表面积，也常把几何体放在一起考，如球和正方体的内切、外接，圆锥的侧面展开图。解答题的最后一问也常求体积。

学完这一节，你应该能默写柱、锥、球的表面积和体积公式，分清母线、斜高、高这几个容易混的量，并会处理球与正方体、长方体的组合。

棱柱与棱锥

棱柱有两个互相平行且全等的底面，侧面都是平行四边形。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。棱锥有一个多边形底面，侧面是有公共顶点的三角形；底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥。

几何体	体积	侧面积
棱柱（底面积 $S$S，高 $h$h）	$V = Sh$V=Sh	直棱柱：底面周长 $\times$× 高
棱锥（底面积 $S$S，高 $h$h）	$V = \dfrac{1}{3}Sh$V=31​Sh	正棱锥：$\dfrac{1}{2} \times$21​× 底面周长 $\times$× 斜高

注意：正棱锥的斜高是侧面三角形底边上的高，不是棱锥的高。设正棱锥的高为 $h$h，底面中心到某边的距离为 $d$d，则斜高 $h' = \sqrt{h^2 + d^2}$h′=h2+d2​。表面积等于侧面积加底面积（棱柱有两个底面）。

长方体的长、宽、高分别为 $a$a、$b$b、$c$c 时：体积 $V = abc$V=abc，表面积 $S = 2(ab + bc + ca)$S=2(ab+bc+ca)，体对角线长 $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$a2+b2+c2​。正方体是 $a = b = c$a=b=c 的特例，棱长为 $a$a 时：$V = a^3$V=a3，$S = 6a^2$S=6a2，体对角线 $\sqrt{3}\,a$3​a。

例：正四棱锥底面边长为 $4$4，高为 $3$3。体积 $V = \dfrac{1}{3} \times 16 \times 3 = 16$V=31​×16×3=16。底面中心到一边的距离是 $2$2，斜高 $h' = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$h′=9+4​=13​，侧面积 $S_{\text{侧}} = \dfrac{1}{2} \times 16 \times \sqrt{13} = 8\sqrt{13}$S侧​=21​×16×13​=813​。

圆柱与圆锥

圆柱的底面半径为 $r$r，高为 $h$h。圆锥的底面半径为 $r$r，高为 $h$h，母线长为 $l$l，三者的关系是 $l^2 = r^2 + h^2$l2=r2+h2。

几何体	侧面积	表面积	体积
圆柱	$2\pi rh$2πrh	$2\pi r(r + h)$2πr(r+h)	$\pi r^2 h$πr2h
圆锥	$\pi rl$πrl	$\pi r(r + l)$πr(r+l)	$\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$31​πr2h

侧面展开图是解决这类问题的钥匙：圆柱的侧面展开是矩形，长为底面周长 $2\pi r$2πr，宽为高 $h$h；圆锥的侧面展开是扇形，扇形的半径是母线长 $l$l，扇形的弧长等于底面圆的周长 $2\pi r$2πr。

例：圆锥的底面半径为 $3$3，高为 $4$4。母线 $l = \sqrt{9 + 16} = 5$l=9+16​=5，侧面积 $S_{\text{侧}} = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$S侧​=π×3×5=15π，表面积 $S = 15\pi + 9\pi = 24\pi$S=15π+9π=24π，体积 $V = \dfrac{1}{3}\pi \times 9 \times 4 = 12\pi$V=31​π×9×4=12π。

球

半径为 $R$R 的球：

$$S = 4\pi R^2, \qquad V = \frac{4}{3}\pi R^3$$S=4πR2,V=34​πR3

球与正方体、长方体的组合，关键是找出球的半径与几何体棱长的关系，棱长为 $a$a 的正方体：

位置关系	球的半径 $R$R
内切球（与六个面都相切）	$\dfrac{a}{2}$2a​
外接球（八个顶点都在球面上）	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$23​​a