椭圆

本节导读

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，是平面解析几何的重点。椭圆在试卷里的考法主要有：由方程写出焦点、长轴、短轴、离心率，判断焦点的位置，由条件求椭圆的标准方程，以及利用定义求椭圆上的点到焦点的距离。

学完这一节，你应该能背出椭圆的标准方程和 $a$a、$b$b、$c$c 的关系，会判断焦点在哪条轴上，并能熟练求焦点、顶点和离心率。

椭圆的定义与标准方程

定义

平面内到两个定点 $F_1$F1​、$F_2$F2​ 的距离之和等于常数 $2a$2a 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两焦点间的距离 $\lvert F_1 F_2\rvert = 2c$∣F1​F2​∣=2c 叫焦距。定义里有一个条件不能忘：$2a > 2c$2a>2c，也就是 $a > c$a>c。如果 $2a = 2c$2a=2c，轨迹是一条线段；如果 $2a < 2c$2a<2c，轨迹不存在。

标准方程

椭圆的标准方程有两种，由焦点所在的坐标轴决定：

焦点位置	标准方程	焦点坐标
在 $x$x 轴上	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​+b2y2​=1（$a > b > 0$a>b>0）	$(\pm c, 0)$(±c,0)
在 $y$y 轴上	$\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$a2y2​+b2x2​=1（$a > b > 0$a>b>0）	$(0, \pm c)$(0,±c)

三个量的关系是 $a^2 = b^2 + c^2$a2=b2+c2，其中 $a$a 最大，所以 $a$a 是斜边，$b$b、$c$c 是直角边。

判断焦点位置的方法：看分母的大小，哪个变量下面的分母大，焦点就在哪个坐标轴上。例如 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$9x2​+25y2​=1 中，$25 > 9$25>9，$y^2$y2 的分母大，焦点在 $y$y 轴上，$a^2 = 25$a2=25，$b^2 = 9$b2=9，$c^2 = 16$c2=16，焦点是 $(0, \pm 4)$(0,±4)。

椭圆的几何性质

以焦点在 $x$x 轴上的椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​+b2y2​=1 为例：

性质	内容
范围	$\lvert x\rvert \le a$∣x∣≤a，$\lvert y\rvert \le b$∣y∣≤b
对称性	关于 $x$x 轴、$y$y 轴、原点都对称
顶点	$(\pm a, 0)$(±a,0)，$(0, \pm b)$(0,±b)
长轴、短轴	长轴长 $2a$2a，短轴长 $2b$2b
焦点、焦距	焦点 $(\pm c, 0)$(±c,0)，焦距 $2c$2c
离心率	$e = \dfrac{c}{a}$e=ac​，$0 < e < 1$0<e<1

离心率描述椭圆的「扁圆程度」：$e$e 越接近 $1$1，椭圆越扁；$e$e 越接近 $0$0，椭圆越接近圆。

例：椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$25x2​+9y2​=1。$a = 5$a=5，$b = 3$b=3，$c = \sqrt{25 - 9} = 4$c=25−9​=4。焦点是 $(\pm 4, 0)$(±4,0)，长轴长 $10$10，短轴长 $6$6，离心率 $e = \dfrac{4}{5}$e=54​。

利用定义：椭圆上任意一点 $P$P 到两焦点的距离之和等于 $2a$2a。若 $P$P 到一个焦点的距离是 $d_1$d1​，则到另一个焦点的距离是 $2a - d_1$2a−d1​。

求椭圆的标准方程

方法是「先定位，再定量」：先根据条件判断焦点在哪个轴上，再求 $a^2$a2 和 $b^2$b2。

例 1：焦点是 $(\pm 3, 0)$(±3,0)，长轴长为 $10$10。焦点在 $x$x 轴上，$c = 3$c=3，$2a = 10$2a=10，$a = 5$a=5，$b^2 = a^2 - c^2 = 16$b2=a2−c2=16，方程是 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$25x2​+16y2​=1。