直线与圆锥曲线

本节导读

这一节是平面解析几何的综合：把直线和椭圆、双曲线、抛物线放在一起研究。解答题里常见的问法是「直线与曲线相交于 $A$A、$B$B 两点，求弦长，求弦的中点，或者求参数的取值范围」，选择题、填空题里也会直接考位置关系、弦长和中点弦的斜率。

学完这一节，你应该掌握一条主线：联立方程、消元、用判别式和韦达定理。会这一条，大部分题都能做。

直线与圆锥曲线的位置关系

联立消元

把直线方程 $y = kx + m$y=kx+m 代入曲线方程，消去 $y$y，得到关于 $x$x 的方程 $Ax^2 + Bx + C = 0$Ax2+Bx+C=0。当 $A \ne 0$A=0 时，它是一元二次方程，位置关系由判别式 $\Delta = B^2 - 4AC$Δ=B2−4AC 决定：

判别式	公共点个数	位置关系
$\Delta > 0$Δ>0	$2$2	相交
$\Delta = 0$Δ=0	$1$1	相切
$\Delta < 0$Δ<0	$0$0	相离

例：直线 $y = x + m$y=x+m 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$4x2​+y2=1 有公共点，求 $m$m 的范围。联立消去 $y$y：$\dfrac{x^2}{4} + (x + m)^2 = 1$4x2​+(x+m)2=1，两边乘 $4$4 整理得 $5x^2 + 8mx + 4m^2 - 4 = 0$5x2+8mx+4m2−4=0。$\Delta = 64m^2 - 20(4m^2 - 4) = 80 - 16m^2$Δ=64m2−20(4m2−4)=80−16m2。有公共点要求 $\Delta \ge 0$Δ≥0，即 $m^2 \le 5$m2≤5，所以 $-\sqrt{5} \le m \le \sqrt{5}$−5​≤m≤5​。

二次项系数为零的情形

对双曲线和抛物线，联立后二次项的系数可能是 $0$0，此时方程是一次方程，只有一个解，直线与曲线只有一个公共点，但这不是相切，而是直线平行于抛物线的对称轴（或双曲线的渐近线）。

例：直线 $y = kx + 1$y=kx+1 与抛物线 $y^2 = 4x$y2=4x 只有一个公共点，求 $k$k。联立：$(kx + 1)^2 = 4x$(kx+1)2=4x，即 $k^2 x^2 + (2k - 4)x + 1 = 0$k2x2+(2k−4)x+1=0。若 $k = 0$k=0，方程变成 $-4x + 1 = 0$−4x+1=0，只有一个解，直线 $y = 1$y=1 平行于对称轴，符合题意。若 $k \ne 0$k=0，需要 $\Delta = (2k - 4)^2 - 4k^2 = 16 - 16k = 0$Δ=(2k−4)2−4k2=16−16k=0，得 $k = 1$k=1。所以 $k = 0$k=0 或 $k = 1$k=1。

弦长公式

设直线 $y = kx + m$y=kx+m 与曲线相交于 $A(x_1, y_1)$A(x1​,y1​)、$B(x_2, y_2)$B(x2​,y2​)，联立后得到 $Ax^2 + Bx + C = 0$Ax2+Bx+C=0，由韦达定理 $x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A}$x1​+x2​=−AB​，$x_1 x_2 = \dfrac{C}{A}$x1​x2​=AC​。则弦长为：

$$\lvert AB\rvert = \sqrt{1 + k^2}\,\lvert x_1 - x_2\rvert = \sqrt{1 + k^2}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}$$∣AB∣=1+k2​∣x1​−x2​∣=1+k2​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​​

做题时的顺序是：联立，写出 $x_1 + x_2$x1​+x2​ 和 $x_1 x_2$x1​x2​，再代入公式，不需要把两个交点真的解出来。

例：直线 $y = x - 1$y=x−1 与抛物线 $y^2 = 4x$y2=4x 交于 $A$A、$B$B 两点，求 $\lvert AB\rvert$∣AB∣。联立：$(x - 1)^2 = 4x$(x−1)2=4x，即 $x^2 - 6x + 1 = 0$x2−6x+1=0，$x_1 + x_2 = 6$x1​+x2​=6，$x_1 x_2 = 1$x1​x2​=1。所以 $\lvert AB\rvert = \sqrt{1 + 1}\cdot\sqrt{36 - 4} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{32} = 8$∣AB∣=1+1​⋅36−4​=2​⋅32​=8。

对抛物线 $y^2 = 2px$y2=2px 还有一个快捷公式：如果弦过焦点，则 $\lvert AB\rvert = x_1 + x_2 + p$∣AB∣=x1​+x2​+p。上例直线过焦点 $(1, 0)$(1,0)，$\lvert AB\rvert = 6 + 2 = 8$∣AB∣=6+2=8，结果一致。

中点弦问题

已知弦的中点，求弦所在直线的斜率，常用点差法。以椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​+b2y2​=1 为例，设弦的两端点 $A(x_1, y_1)$A(x1​,y1​)、$B(x_2, y_2)$B(x2​,y2​) 都在椭圆上，中点为 $M(x_0, y_0)$M(x0​,y0​)。两个点的坐标都满足椭圆方程，两式相减：

$$\frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = 0$$a2x12​−x22​​+b2y12​−y22​​=0

用平方差公式分解，并代入 $x_1 + x_2 = 2x_0$x1​+x2​=2x0​，$y_1 + y_2 = 2y_0$y1​+y2​=2y0​，得到弦所在直线的斜率：

$$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$$k=x1​−x2​y1​−y2​​=−a2y0​b2x0​​

例：椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1$4x2​+2y2​=1 中，以 $M\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$M(1,21​) 为中点的弦所在直线的斜率是 $k = -\dfrac{2 \times 1}{4 \times \frac{1}{2}} = -1$k=−4×21​2×1​=−1。注意中点 $M$M 必须在椭圆内部，这样的弦才存在；这里 $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} < 1$41​+81​<1，成立。