综合模拟练习与讲评

本节导读

这一节是一套限时模拟，题量大约是整卷的一半，三种题型都有。本节题目为原创模拟题，用来熟悉题型，不是历年试卷的原文。课程介绍的学习路线建议「综合模拟练习」按这一节写的建议用时计时完成，建议用时见下面的「题型配比说明」。

内容横跨全课：选择题考复数、二项式定理、平面向量、双曲线、等比数列，以及答题和用时；填空题考三角函数求值、直线与圆；两道解答题一道立体几何、一道导数。

做法分三步。第一步，掐表：选择题在本节练习里，填空、解答在正文，都在纸上写完整，做的时候不翻讲评。第二步，判分：选择题看练习解析，填空题只对结果，解答题照参考答案一行一行对，对一行记一行。第三步，复盘：每块用掉的分钟数和建议用时比一比，超时的到「用时复盘」表里找原因；丢分的题，回解析里「见第 N 节」那几节补。时间表在第 1 节《考试介绍与备考方法》，答题的写法在第 32 节《考前冲刺与应试策略》。

题型配比说明

试卷结构用第 1 节的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院公告为准）：满分 150 分，考试 120 分钟；选择题 17 道，每道 5 分，共 85 分；填空题 4 道，每道 4 分，共 16 分；解答题 4 道，共 49 分，各题分值不同。本节每种题型取一半左右：

题型	整卷题量与分值	本节题量	建议用时	考的内容
选择题	17 道，共 85 分	8 道，在本节练习里	约 17 分钟	复数、二项式定理、向量、双曲线、等比数列、答题与用时
填空题	4 道，共 16 分	2 道，在正文	约 6 分钟	三角函数求值、直线与圆
解答题	4 道，共 49 分	2 道，在正文	约 30 分钟	立体几何、导数

建议用时照第 1 节的时间表折算：整卷选择题 35 分钟，8 道按比例是 16 分半，取 17 分钟；填空题每道 3 分钟，两道 6 分钟；解答题每道 15 分钟，两道 30 分钟。三块共 53 分钟，再按整卷 13 分钟的一半留约 7 分钟检查，合计约 60 分钟。本节小题不标分值；做题时在题号旁记下开始的钟点，复盘时才知道每道花了多久。

选择题讲评要点

本节练习的 8 道选择题分两类：考知识的 5 道，考答题与用时的 3 道（评一份解答、选填空的写法、复盘用时）。考知识的 5 道，解析开头都写了「办法：」，用的是直接计算、写通项、代入或排除；8 道的解析都标了「见第 N 节」。下表只说坑在哪、怎么避开，不给答案。

类别	容易掉进的坑	怎么避开	回哪一节
复数的除法与模	分母实数化后漏除；模忘了开方	分子分母同乘分母的共轭复数，化成 $a+bi$a+bi 再求 $\sqrt{a^2+b^2}$a2+b2​	第 13 节
二项展开式的指定项	只算二项式系数，漏了系数的乘方；$(-1)^r$(−1)r 的符号	写出通项，先由指数定 $r$r，再把系数、符号一起乘	第 28 节
向量的坐标运算	垂直和平行的条件记混；数量积的符号算错	垂直用 $x_1x_2+y_1y_2=0$x1​x2​+y1​y2​=0，平行用 $x_1y_2-x_2y_1=0$x1​y2​−x2​y1​=0，求出后代回验	第 19 节
双曲线的定义	由定义解出两个距离，其中一个其实不可能	解出后用三角形两边之和大于第三边检验	第 23 节
等比数列的项	用等比中项开方时多带了一个负号	下标相差 2 的两项同号，先定符号再开方	第 10 节
答题与用时	评解答只认得数；根式没化完就交；复盘只算总账	逐行查依据；化到分母不带根号；四块用时各对第 1 节的表	第 1、32 节

错题按上表的类别记进错题本，每道写一句错因：公式记错、算错，还是题看漏了。同一类错了两道以上，就回表里写的那一节重学。

非选择题示范

一、填空题

1. 已知 $\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$α∈(2π​,π)，$\cos\alpha=-\frac{5}{13}$cosα=−135​，则 $\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$sin(α+4π​)= ______。
2. 直线 $3x+4y+m=0$3x+4y+m=0 与圆 $x^2+(y-2)^2=4$x2+(y−2)2=4 相切，则 $m=$m= ______。

答案与讲评：

1. $\frac{7\sqrt{2}}{26}$2672​​。$\alpha$α 在第二象限，$\sin\alpha=\frac{12}{13}$sinα=1312​，取正值（第 14、15 节）；$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha+\cos\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{7}{13}$sin(α+4π​)=22​​(sinα+cosα)=22​​×137​（第 16 节）。写成 $\frac{7}{13\sqrt{2}}$132​7​，分母还带根号，不是最简。
2. $2$2 或 $-18$−18。圆心 $(0,2)$(0,2)，半径 2，相切就是圆心到直线的距离等于半径：$\frac{\lvert8+m\rvert}{5}=2$5∣8+m∣​=2，$\lvert8+m\rvert=10$∣8+m∣=10（第 21 节）。两个值都满足，都要写上。

二、解答一：立体几何

四棱锥 $P\text{-}ABCD$P-ABCD 的底面 $ABCD$ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 $PAD$PAD 是正三角形，且平面 $PAD\perp$PAD⊥ 平面 $ABCD$ABCD。（1）证明 $AB\perp$AB⊥ 平面 $PAD$PAD；（2）求四棱锥 $P\text{-}ABCD$P-ABCD 的体积；（3）求直线 $PB$PB 与平面 $ABCD$ABCD 所成角的正弦值。

参考答案（按得分点分行）：

• （1）因为平面 $PAD\perp$PAD⊥ 平面 $ABCD$ABCD，交线是 $AD$AD，$AB\subset$AB⊂ 平面 $ABCD$ABCD，$AB\perp AD$AB⊥AD，所以 $AB\perp$AB⊥ 平面 $PAD$PAD（面面垂直的性质定理，第 25 节）。
• （2）取 $AD$AD 的中点 $O$O，连 $PO$PO。$\triangle PAD$△PAD 是正三角形，所以 $PO\perp AD$PO⊥AD；同（1）的理由，$PO\perp$PO⊥ 平面 $ABCD$ABCD，且 $PO=\sqrt{3}$PO=3​。
• $V=\frac{1}{3}\times2^2\times\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$V=31​×22×3​=343​​（第 27 节）。
• （3）连 $OB$OB。$PO\perp$PO⊥ 平面 $ABCD$ABCD，所以 $OB$OB 是 $PB$PB 在底面内的射影，$\angle PBO$∠PBO 就是所求的角（第 26 节）。
• $OB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$OB=12+22​=5​，$PB=\sqrt{3+5}=2\sqrt{2}$PB=3+5​=22​，$\sin\angle PBO=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$sin∠PBO=22​3​​=46​​。
• 讲评：第（2）问「同（1）的理由」用的还是那条性质定理，$PO\perp AD$PO⊥AD 这个条件要写在卷面上；第（3）问先指出哪个角是所求的角再算，「一作二证三算」少了「证」会扣分（第 26、33 节）。