等比数列与数列综合

本节导读

等比数列和等差数列是一对「孪生兄弟」：定义里一个用差、一个用比；公式里一个用加法、一个用乘方。试卷里它们常常放在同一道题里，比如「已知三个数成等差数列，又成等比数列……」，所以这一节在讲等比数列的同时，会把两类数列放在一起对照。

学完这一节，你应该能写出等比数列的通项公式和前 $n$n 项和公式，会用等比中项和性质，能把等差、等比的条件翻译成方程组来解综合题。

等比数列

定义、通项和中项

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比都等于同一个不为 0 的常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫公比，记作 $q$q。即 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = q$an​an+1​​=q。等比数列的各项和公比都不为 0。

内容	公式
通项公式	$a_n = a_1 q^{n-1}$an​=a1​qn−1
推广	$a_n = a_m q^{n-m}$an​=am​qn−m
等比中项	$a$a、$G$G、$b$b 成等比数列，则 $G^2 = ab$G2=ab
性质	若 $m + n = p + q$m+n=p+q，则 $a_m a_n = a_p a_q$am​an​=ap​aq​

前 n 项和公式

等比数列的前 $n$n 项和要分两种情况：

$$S_n = \begin{cases} na_1, & q = 1 \\[2mm] \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}, & q \ne 1 \end{cases}$$Sn​=⎩⎨⎧​na1​,1−qa1​(1−qn)​,​q=1q=1​

例 1：等比数列中 $a_1 = 2$a1​=2，$q = 3$q=3。则 $a_4 = 2 \times 3^3 = 54$a4​=2×33=54，$S_4 = \dfrac{2(1 - 3^4)}{1 - 3} = \dfrac{2 \times (-80)}{-2} = 80$S4​=1−32(1−34)​=−22×(−80)​=80。

例 2：等比数列中 $a_2 = 6$a2​=6，$a_5 = 48$a5​=48。由 $a_5 = a_2 q^3$a5​=a2​q3 得 $q^3 = 8$q3=8，$q = 2$q=2，再由 $a_2 = a_1 q$a2​=a1​q 得 $a_1 = 3$a1​=3，所以 $a_n = 3 \times 2^{n-1}$an​=3×2n−1。

等差数列与等比数列对照

把两类数列的主要公式放在一起，能帮助你记忆，也不容易混：

比较	等差数列	等比数列
定义	$a_{n+1} - a_n = d$an+1​−an​=d	$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = q$an​an+1​​=q
通项	$a_n = a_1 + (n - 1)d$an​=a1​+(n−1)d	$a_n = a_1 q^{n-1}$an​=a1​qn−1
中项	$A = \dfrac{a + b}{2}$A=2a+b​	$G^2 = ab$G2=ab
性质	$m + n = p + q$m+n=p+q 时，$a_m + a_n = a_p + a_q$am​+an​=ap​+aq​	$m + n = p + q$m+n=p+q 时，$a_m a_n = a_p a_q$am​an​=ap​aq​
前 $n$n 项和	$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$Sn​=2n(a1​+an​)​	$S_n = \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$Sn​=1−qa1​(1−qn)​（$q \ne 1$q=1）

可以看到，把等差数列公式里的「加」换成「乘」、「乘」换成「乘方」，就大致是等比数列的公式。

数列的综合应用

解题的基本思路

综合题的思路和上一节一样：把条件翻译成关于基本量（首项 $a_1$a1​，公差 $d$d 或公比 $q$q）的方程，解出基本量，再求别的量。常见的有三类：

• 两个数列的条件混在一起，如「等差数列的某三项成等比数列」；
• 用数列解决增长、存款一类的实际问题；
• 判断或证明一个数列是等差数列还是等比数列，只要证明 $a_{n+1} - a_n$an+1​−an​ 或 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$an​an+1​​ 是与 $n$n 无关的常数。

例 3：设 $\{a_n\}${an​} 是公差 $d \ne 0$d=0 的等差数列，$a_1 = 1$a1​=1，且 $a_1$a1​、$a_2$a2​、$a_5$a5​ 成等比数列，求 $d$d。由等比中项得 $a_2^2 = a_1 a_5$a22​=a1​a5​，即 $(1 + d)^2 = 1 \times (1 + 4d)$(1+d)2=1×(1+4d)，展开得 $1 + 2d + d^2 = 1 + 4d$1+2d+d2=1+4d，整理得 $d^2 - 2d = 0$d2−2d=0，所以 $d = 0$d=0 或 $d = 2$d=2。因为 $d \ne 0$d=0，所以 $d = 2$d=2。

例 4：一个细菌每小时分裂一次（1 个分裂成 2 个），从 1 个开始，每小时的个数组成等比数列，$a_1 = 1$a1​=1，$q = 2$q=2。经过 6 小时就是第 7 项：$a_7 = 2^6 = 64$a7​=26=64 个。

易错提醒

• ❌ 等比数列的通项写成 $a_n = a_1 q^n$an​=a1​qn。
  ✅ 第 $n$n 项比第 1 项多乘了 $n - 1$n−1 个公比，$a_n = a_1 q^{n-1}$an​=a1​qn−1。

• ❌ 求等比数列的前 $n$n 项和时，不管公比是不是 1，直接用 $\dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$1−qa1​(1−qn)​。
  ✅ $q = 1$q=1 时分母为 0，这时 $S_n = na_1$Sn​=na1​，公比含有字母时要分类讨论。

• ❌ 已知 $2, x, 8$2,x,8 成等比数列，只取 $x = 4$x=4。
  ✅ $x^2 = 16$x2=16，$x = \pm 4$x=±4，两个值都满足（公比分别是 $2$2 和 $-2$−2）；如果题目说「各项为正」才只取正的。

• ❌ 由 $q^3 = 8$q3=8 解出 $q = \pm 2$q=±2。
  ✅ 奇次方程只有一个实数解，$q = 2$q=2；而 $q^2 = 4$q2=4 才有 $q = \pm 2$q=±2。

• ❌ 混用等差、等比的性质，如把 $a_2 + a_6 = 2a_4$a2​+a6​=2a4​ 用到等比数列上。
  ✅ 等比数列对应的是 $a_2 a_6 = a_4^2$a2​a6​=a42​，先分清是哪一类数列。

例题精讲

例题 1

在等比数列 $\{a_n\}${an​} 中，$a_3 = 4$a3​=4，$a_6 = 32$a6​=32，则 $a_1$a1​ 等于（　　）

A. $1$1　　B. $2$2　　C. $\dfrac{1}{2}$21​　　D. $4$4

答案：A

解析：由 $a_6 = a_3 q^3$a6​=a3​q3 得 $q^3 = \dfrac{32}{4} = 8$q3=432​=8，所以 $q = 2$q=2。再由 $a_3 = a_1 q^2$a3​=a1​q2 得 $a_1 = \dfrac{4}{4} = 1$a1​=44​=1，选 A。

例题 2

等比数列 $\{a_n\}${an​} 中，$a_1 = 1$a1​=1，$q = 2$q=2，则前 6 项的和 $S_6$S6​ 等于（　　）

A. $31$31　　B. $63$63　　C. $64$64　　D. $127$127

答案：B

解析：$q \ne 1$q=1，用公式 $S_6 = \dfrac{1 \times (1 - 2^6)}{1 - 2} = \dfrac{-63}{-1} = 63$S6​=1−21×(1−26)​=−1−63​=63，选 B。C 是第 7 项 $2^6 = 64$26=64，D 是前 7 项的和。

例题 3

等差数列 $\{a_n\}${an​} 的公差 $d \ne 0$d=0，$a_1 = 2$a1​=2，且 $a_1$a1​、$a_3$a3​、$a_7$a7​ 成等比数列，则 $d$d 等于（　　）

A. $\dfrac{1}{2}$21​　　B. $1$1　　C. $2$2　　D. $3$3

答案：B

解析：$a_3 = 2 + 2d$a3​=2+2d，$a_7 = 2 + 6d$a7​=2+6d。由等比中项得 $a_3^2 = a_1 a_7$a32​=a1​a7​，即 $(2 + 2d)^2 = 2(2 + 6d)$(2+2d)2=2(2+6d)，展开得 $4 + 8d + 4d^2 = 4 + 12d$4+8d+4d2=4+12d，整理得 $4d^2 - 4d = 0$4d2−4d=0，所以 $d = 0$d=0 或 $d = 1$d=1。因为 $d \ne 0$d=0，所以 $d = 1$d=1，选 B。验证：三项是 $2, 4, 8$2,4,8，公比为 2，确实成等比数列。

本节小结

• 等比数列：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = q$an​an+1​​=q（$q \ne 0$q=0），通项 $a_n = a_1 q^{n-1}$an​=a1​qn−1，各项都不为 0。
• 等比中项：$G^2 = ab$G2=ab；性质：$m + n = p + q$m+n=p+q 时 $a_m a_n = a_p a_q$am​an​=ap​aq​。
• 前 $n$n 项和：$q = 1$q=1 时 $S_n = na_1$Sn​=na1​；$q \ne 1$q=1 时 $S_n = \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$Sn​=1−qa1​(1−qn)​。
• 等差数列「加减」对应等比数列「乘除」，两类公式对照记忆，不要混用。
• 综合题的方法：条件翻译成关于 $a_1$a1​、$d$d 或 $q$q 的方程，解完要检查是否符合题目对公差、公比的限制。