指数与对数的运算

本节导读

指数与对数的运算是函数部分的计算基础，选择题、填空题里常常直接考：计算一个含分数指数幂的式子，或者化简求值一个含 $\lg$lg、$\log$log 的式子；后面的指数函数、对数函数也要先会这些运算。题目本身不难，关键是公式记得准、符号不弄错。

学完这一节，你应该能把根式和分数指数幂互相改写，熟练使用指数的运算法则，能在指数式与对数式之间互化，并会用对数的运算法则和换底公式化简求值。

指数与指数运算

整数指数与分数指数幂

先回顾整数指数：$a^n$an 表示 $n$n 个 $a$a 相乘；规定 $a^0 = 1$a0=1（$a \ne 0$a=0），$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$a−n=an1​（$a \ne 0$a=0）。

对分数指数，规定（$a > 0$a>0，$m$m、$n$n 是正整数，$n > 1$n>1）：

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \qquad a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$$anm​=nam​,a−nm​=anm​1​

读法口诀：分母是根指数，分子是幂指数。下面是几个典型例子：

写法	含义	例子
$a^{\frac{1}{2}}$a21​	$\sqrt{a}$a​	$9^{\frac{1}{2}} = 3$921​=3
$a^{\frac{m}{n}}$anm​	$\sqrt[n]{a^m}$nam​	$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$832​=(38​)2=4
$a^{-\frac{m}{n}}$a−nm​	$\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$anm​1​	$27^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{3}$27−31​=31​
$a^0$a0	$1$1（$a \ne 0$a=0）	$(-3)^0 = 1$(−3)0=1

运算法则

设 $a > 0$a>0，$b > 0$b>0，$r$r、$s$s 是任意实数，则有：

法则	公式
同底数幂相乘	$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ar⋅as=ar+s
同底数幂相除	$a^r \div a^s = a^{r-s}$ar÷as=ar−s
幂的乘方	$(a^r)^s = a^{rs}$(ar)s=ars
积的乘方	$(ab)^r = a^r b^r$(ab)r=arbr

例：计算 $27^{\frac{2}{3}} + 16^{-\frac{1}{4}} - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$2732​+16−41​−(21​)−2。$27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 9$2732​=(327​)2=9；$16^{-\frac{1}{4}} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{16}} = \dfrac{1}{2}$16−41​=416​1​=21​；$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$(21​)−2=22=4。所以原式 $= 9 + \dfrac{1}{2} - 4 = \dfrac{11}{2}$=9+21​−4=211​。

对数的概念

定义和基本性质

如果 $a^x = N$ax=N（$a > 0$a>0，$a \ne 1$a=1），那么 $x$x 叫做以 $a$a 为底 $N$N 的对数，记作 $x = \log_a N$x=loga​N，其中 $N$N 叫做真数，必须 $N > 0$N>0。指数式和对数式可以互化：

$$a^x = N \iff x = \log_a N$$ax=N⟺x=loga​N

底数为 $10$10 的对数叫常用对数，记作 $\lg N$lgN；底数为 $\mathrm{e}$e（约等于 $2.718$2.718）的对数叫自然对数，记作 $\ln N$lnN。

几个基本结论要牢记：

• $\log_a 1 = 0$loga​1=0，$\log_a a = 1$loga​a=1；
• 对数恒等式：$a^{\log_a N} = N$aloga​N=N；
• $\log_a a^b = b$loga​ab=b。

例如 $\log_2 8 = 3$log2​8=3（因为 $2^3 = 8$23=8），$\log_3 \dfrac{1}{9} = -2$log3​91​=−2（因为 $3^{-2} = \dfrac{1}{9}$3−2=91​），$\lg 1000 = 3$lg1000=3。

对数的运算

运算法则和换底公式

设 $a > 0$a>0，$a \ne 1$a=1，$M > 0$M>0，$N > 0$N>0，则有：

法则	公式
积的对数	$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$loga​(MN)=loga​M+loga​N
商的对数	$\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$loga​NM​=loga​M−loga​N
幂的对数	$\log_a M^n = n \log_a M$loga​Mn=nloga​M
换底公式	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$loga​b=logc​alogc​b​（$c > 0$c>0，$c \ne 1$c=1）

换底公式有两个常用的推论：$\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$loga​b=logb​a1​；$\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m} \log_a b$logam​bn=mn​loga​b。

化简求值的例子

• $\lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1$lg2+lg5=lg10=1；
• $\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 4 = 2$log2​12−log2​3=log2​4=2；
• $2\log_3 6 - \log_3 4 = \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 9 = 2$2log3​6−log3​4=log3​36−log3​4=log3​9=2；
• $\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$log4​8=log2​4log2​8​=23​。

化简的基本思路是：把几个同底的对数合并成一个，真数能算出来的就算出来，底不同的先用换底公式化成同底。

易错提醒

• ❌ $\log_a (M + N) = \log_a M + \log_a N$loga​(M+N)=loga​M+loga​N。
  ✅ 只有「积的对数等于对数的和」，和的对数没有这样的公式。

• ❌ $\dfrac{\log_a M}{\log_a N} = \log_a M - \log_a N$loga​Nloga​M​=loga​M−loga​N。
  ✅ 两个对数相除不能直接化简；$\log_a \dfrac{M}{N}$loga​NM​ 才等于 $\log_a M - \log_a N$loga​M−loga​N。

• ❌ $2^{-3} = -8$2−3=−8。
  ✅ 负指数表示倒数，$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$2−3=231​=81​。

• ❌ $(a^m)^n = a^{m+n}$(am)n=am+n。
  ✅ 幂的乘方是指数相乘，$(a^m)^n = a^{mn}$(am)n=amn；指数相加是同底数幂相乘 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$am⋅an=am+n。

• ❌ 化简 $\sqrt{(-3)^2}$(−3)2​ 得 $-3$−3。
  ✅ $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$(−3)2​=9​=3，一般地 $\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$a2​=∣a∣。

• ❌ 认为 $\log_2 (-4)$log2​(−4) 有意义，等于 $-2$−2。
  ✅ 真数必须大于 0，$\log_2 (-4)$log2​(−4) 没有意义。

例题精讲

例题 1

计算 $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} + 8^{\frac{2}{3}} - 3^0$(41​)−21​+832​−30 的值是（　　）

A. $4$4　　B. $5$5　　C. $6$6　　D. $7$7

答案：B

解析：$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = 2$(41​)−21​=421​=2；$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$832​=(38​)2=4；$3^0 = 1$30=1。所以原式 $= 2 + 4 - 1 = 5$=2+4−1=5，选 B。

例题 2

$\log_2 12 - \log_2 3 + \lg 4 + \lg 25$log2​12−log2​3+lg4+lg25 的值是（　　）

A. $3$3　　B. $5$5　　C. $4$4　　D. $6$6

答案：C

解析：前两项合并：$\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{12}{3} = \log_2 4 = 2$log2​12−log2​3=log2​312​=log2​4=2。后两项合并：$\lg 4 + \lg 25 = \lg 100 = 2$lg4+lg25=lg100=2。所以原式 $= 2 + 2 = 4$=2+2=4，选 C。

例题 3

已知 $\log_2 3 = a$log2​3=a，$\log_3 5 = b$log3​5=b，则 $\log_2 5$log2​5 等于（　　）

A. $a + b$a+b　　B. $\dfrac{a}{b}$ba​　　C. $ab$ab　　D. $\dfrac{b}{a}$ab​

答案：C

解析：用换底公式把 $\log_2 5$log2​5 换成以 $3$3 为底：$\log_2 5 = \dfrac{\log_3 5}{\log_3 2}$log2​5=log3​2log3​5​。而 $\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3} = \dfrac{1}{a}$log3​2=log2​31​=a1​，所以 $\log_2 5 = \dfrac{b}{\frac{1}{a}} = ab$log2​5=a1​b​=ab，选 C。

本节小结

• 分数指数幂：$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$anm​=nam​，分母是根指数，分子是幂指数；负指数表示倒数。
• 指数运算法则：同底相乘指数相加，幂的乘方指数相乘，积的乘方各因子分别乘方。
• 对数 $\log_a N$loga​N 要求 $a > 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1，真数 $N > 0$N>0；$\log_a 1 = 0$loga​1=0，$\log_a a = 1$loga​a=1，$a^{\log_a N} = N$aloga​N=N。
• 对数运算法则：积变和、商变差、幂的指数提到前面；底不同时用换底公式化成同底。
• 和的对数没有公式，两个对数相除也不能直接拆。