离散型随机变量的分布列、期望与方差

本节导读

上一节我们算的是“某个事件发生的概率”。这一节换一个角度：用一个变量来描述试验的结果，再研究这个变量取各个值的概率，以及它的“平均水平”和“波动大小”。这就是离散型随机变量的分布列、数学期望和方差。

这类题的步骤很固定：先写出变量所有可能的取值，再求出每个取值的概率，列成分布列，最后代入公式求期望和方差。学完这一节，你应该能独立完成这套流程，并会用性质 $E(a\xi + b)$E(aξ+b) 与 $D(a\xi + b)$D(aξ+b) 简化计算。

离散型随机变量与分布列

随机试验的结果可以用一个变量 $\xi$ξ 来表示，$\xi$ξ 的取值随试验结果而变化，这样的变量叫作随机变量。如果 $\xi$ξ 的所有可能取值可以一一列出，就叫作离散型随机变量。例如：掷一枚骰子出现的点数；抽查 $10$10 件产品中的次品数。

设离散型随机变量 $\xi$ξ 的可能取值是 $x_1, x_2, \cdots, x_n$x1​,x2​,⋯,xn​，取这些值的概率分别是 $p_1, p_2, \cdots, p_n$p1​,p2​,⋯,pn​，把它们列成表：

$\xi$ξ	$x_1$x1​	$x_2$x2​	$\cdots$⋯	$x_n$xn​
$P$P	$p_1$p1​	$p_2$p2​	$\cdots$⋯	$p_n$pn​

这张表叫作 $\xi$ξ 的分布列。它有两个性质：

• $p_i \ge 0$pi​≥0（$i = 1, 2, \cdots, n$i=1,2,⋯,n）；
• $p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1$p1​+p2​+⋯+pn​=1。

第二条常用来求参数，也用来检验自己的分布列有没有算错。

求分布列的步骤：① 确定 $\xi$ξ 的所有可能取值；② 求每个取值对应的概率；③ 列表，并检验概率之和是否为 $1$1。

例：$10$10 件产品中有 $3$3 件次品，从中任取 $2$2 件，设 $\xi$ξ 表示取出的次品数。$\xi$ξ 的可能取值是 $0, 1, 2$0,1,2，总的取法有 $C_{10}^2 = 45$C102​=45 种：

$$P(\xi = 0) = \frac{C_7^2}{45} = \frac{7}{15}, \quad P(\xi = 1) = \frac{C_7^1 C_3^1}{45} = \frac{7}{15}, \quad P(\xi = 2) = \frac{C_3^2}{45} = \frac{1}{15}$$P(ξ=0)=45C72​​=157​,P(ξ=1)=45C71​C31​​=157​,P(ξ=2)=45C32​​=151​

三个概率之和 $\dfrac{7}{15} + \dfrac{7}{15} + \dfrac{1}{15} = 1$157​+157​+151​=1，检验通过。

数学期望

离散型随机变量 $\xi$ξ 的数学期望（简称期望）是各个取值与对应概率的乘积之和：

$$E\xi = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$Eξ=x1​p1​+x2​p2​+⋯+xn​pn​

期望反映的是随机变量取值的平均水平，是以概率为权重的加权平均。它有一个常用的性质：

$$E(a\xi + b) = a\,E\xi + b$$E(aξ+b)=aEξ+b

例：掷一枚均匀的骰子，点数 $\xi$ξ 取 $1$1 到 $6$6 的概率都是 $\dfrac{1}{6}$61​，$E\xi = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5$Eξ=61+2+3+4+5+6​=3.5。上面的次品数问题中，$E\xi = 0 \times \dfrac{7}{15} + 1 \times \dfrac{7}{15} + 2 \times \dfrac{1}{15} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$Eξ=0×157​+1×157​+2×151​=159​=53​。

方差

期望说明“平均是多少”，方差说明“偏离平均多远”。设 $E\xi$Eξ 为 $\xi$ξ 的期望，则 $\xi$ξ 的方差是

$$D\xi = (x_1 - E\xi)^2 p_1 + (x_2 - E\xi)^2 p_2 + \cdots + (x_n - E\xi)^2 p_n$$Dξ=(x1​−Eξ)2p1​+(x2​−Eξ)2p2​+⋯+(xn​−Eξ)2pn​

方差的算术平方根 $\sqrt{D\xi}$Dξ​ 叫作标准差。方差（标准差）越小，说明取值越集中在期望附近。

计算时更常用下面的公式，可以少算几次平方：

$$D\xi = E(\xi^2) - (E\xi)^2, \qquad E(\xi^2) = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + \cdots + x_n^2 p_n$$Dξ=E(ξ2)−(Eξ)2,E(ξ2)=x12​p1​+x22​p2​+⋯+xn2​pn​

方差的线性变换性质：$D(a\xi + b) = a^2 D\xi$D(aξ+b)=a2Dξ。加上常数 $b$b 只是把所有取值平移，不改变波动大小，所以 $b$b 不出现；系数 $a$a 要平方。

量	计算公式	线性变换
期望	$E\xi = \sum x_i p_i$Eξ=∑xi​pi​	$E(a\xi + b) = aE\xi + b$E(aξ+b)=aEξ+b
方差	$D\xi = E(\xi^2) - (E\xi)^2$Dξ=E(ξ2)−(Eξ)2	$D(a\xi + b) = a^2 D\xi$D(aξ+b)=a2Dξ

例：次品数 $\xi$ξ 的 $E(\xi^2) = 0 + 1 \times \dfrac{7}{15} + 4 \times \dfrac{1}{15} = \dfrac{11}{15}$E(ξ2)=0+1×157​+4×151​=1511​，所以 $D\xi = \dfrac{11}{15} - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{28}{75}$Dξ=1511​−(53​)2=7528​。掷骰子点数的方差 $D\xi = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{35}{12}$Dξ=691​−(27​)2=1235​。