导数的应用

本节导读

这一节是导数的「用」，也是导数在试卷里最重要的部分。解答题经常给出一个三次函数，让你求单调区间、求极值、求闭区间上的最大值和最小值；选择题、填空题也常考其中的一个环节，或者由单调性、极值反过来求参数。

这类题的解法是固定的：求导，解方程 $f'(x) = 0$f′(x)=0，列表看符号，再写结论。学完这一节，你应该能熟练完成这一套流程，并知道每一步容易错在哪里。

导数与函数的单调性

在某个区间内：如果 $f'(x) > 0$f′(x)>0，那么函数 $f(x)$f(x) 在这个区间内是增函数；如果 $f'(x) < 0$f′(x)<0，那么 $f(x)$f(x) 在这个区间内是减函数。

求单调区间的步骤：第一步，求定义域；第二步，求导 $f'(x)$f′(x) 并因式分解；第三步，解不等式 $f'(x) > 0$f′(x)>0 得增区间，解不等式 $f'(x) < 0$f′(x)<0 得减区间；第四步，规范地写出区间。

例：求 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$f(x)=x3−3x2−9x+1 的单调区间。$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)$f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)。令 $f'(x) > 0$f′(x)>0，大于取两边，得 $x < -1$x<−1 或 $x > 3$x>3；令 $f'(x) < 0$f′(x)<0，得 $-1 < x < 3$−1<x<3。所以增区间是 $(-\infty, -1)$(−∞,−1) 和 $(3, +\infty)$(3,+∞)，减区间是 $(-1, 3)$(−1,3)。

函数的极值

如果函数在 $x_0$x0​ 附近，$f(x_0)$f(x0​) 比周围的函数值都大，$f(x_0)$f(x0​) 叫极大值；比周围的都小，叫极小值。$x_0$x0​ 叫极值点，极大值和极小值统称极值。

判断方法：先找使 $f'(x_0) = 0$f′(x0​)=0 的点，再看 $f'(x)$f′(x) 在 $x_0$x0​ 两侧的符号。

$f'(x)$f′(x) 在 $x_0$x0​ 两侧的符号	结论
左正右负（先增后减）	$f(x_0)$f(x0​) 是极大值
左负右正（先减后增）	$f(x_0)$f(x0​) 是极小值
两侧符号相同	$x_0$x0​ 不是极值点

仍以 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$f(x)=x3−3x2−9x+1 为例，把结果列成表：

$x$x	$(-\infty, -1)$(−∞,−1)	$-1$−1	$(-1, 3)$(−1,3)	$3$3	$(3, +\infty)$(3,+∞)
$f'(x)$f′(x)	$+$+	$0$0	$-$−	$0$0	$+$+
$f(x)$f(x)	递增	极大值	递减	极小值	递增

极大值 $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 1 = 6$f(−1)=−1−3+9+1=6，极小值 $f(3) = 27 - 27 - 27 + 1 = -26$f(3)=27−27−27+1=−26。

闭区间上的最大值与最小值

在闭区间 $[a, b]$[a,b] 上，连续函数的最值只可能出现在极值点或者端点。步骤是：求出区间内使 $f'(x) = 0$f′(x)=0 的点，计算这些点和两个端点处的函数值，比较大小，最大的是最大值，最小的是最小值。

例：求 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$f(x)=x3−3x2−9x+1 在 $[-2, 4]$[−2,4] 上的最值。区间内的驻点是 $x = -1$x=−1 和 $x = 3$x=3。计算：$f(-2) = -8 - 12 + 18 + 1 = -1$f(−2)=−8−12+18+1=−1，$f(-1) = 6$f(−1)=6，$f(3) = -26$f(3)=−26，$f(4) = 64 - 48 - 36 + 1 = -19$f(4)=64−48−36+1=−19。比较得最大值是 $6$6，最小值是 $-26$−26。

导数的应用题

实际问题里求最大（小）值的步骤：设变量并写出函数关系式（注意自变量的实际范围），求导，找出使导数为 0 的点，说明它就是最值点，最后回答问题。如果在实际范围内只有一个极值点，那它就是最值点。