空间角与距离

本节导读

立体几何的解答题，通常先证明一个位置关系，再求一个角或一个距离。这一节学三种角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角）和点到平面的距离。它们的共同思路是「化空间为平面」：先把要求的角或距离作出来，再放进一个三角形里计算。

学完这一节，你应该能写出每种角的定义和范围，会按「一作、二证、三算」的步骤求角，并会用三垂线定理和等体积法帮忙。

异面直线所成的角

把两条异面直线中的一条平移，使它与另一条相交，所得相交直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角，范围是 $(0^{\circ}, 90^{\circ}]$(0∘,90∘]。

求法：一作，平移其中一条（常借助中位线、平行四边形）；二证，说明这就是所求的角；三算，放进三角形里用余弦定理或勾股定理计算。

例：正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ABCD-A1​B1​C1​D1​ 中，求异面直线 $A_1B$A1​B 与 $AD_1$AD1​ 所成的角。连接 $BC_1$BC1​，因为 $AD_1 \parallel BC_1$AD1​∥BC1​，所以 $\angle A_1BC_1$∠A1​BC1​ 就是所求的角。设棱长为 $a$a，则 $A_1B = BC_1 = A_1C_1 = \sqrt{2}\,a$A1​B=BC1​=A1​C1​=2​a，$\triangle A_1BC_1$△A1​BC1​ 是正三角形，所求的角是 $60^{\circ}$60∘。

直线与平面所成的角

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。直线与平面垂直时，所成的角是 $90^{\circ}$90∘；直线与平面平行或在平面内时，所成的角是 $0^{\circ}$0∘。范围是 $[0^{\circ}, 90^{\circ}]$[0∘,90∘]。

求法的关键是找射影：从斜线上取一点，作平面的垂线，垂足与斜线和平面的交点的连线就是射影，所求的角在一个直角三角形里。若斜线上一点 $P$P 到平面的距离是 $d$d，$P$P 到斜足的距离是 $l$l，则 $\sin\theta = \dfrac{d}{l}$sinθ=ld​。

例：正方体棱长为 $a$a，求对角线 $AC_1$AC1​ 与平面 $ABCD$ABCD 所成角 $\theta$θ 的正弦。$CC_1 \perp$CC1​⊥ 平面 $ABCD$ABCD，所以 $AC$AC 是 $AC_1$AC1​ 在底面内的射影，$\theta = \angle C_1AC$θ=∠C1​AC。$CC_1 = a$CC1​=a，$AC_1 = \sqrt{3}\,a$AC1​=3​a，所以 $\sin\theta = \dfrac{a}{\sqrt{3}\,a} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$sinθ=3​aa​=33​​。

二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫棱。在棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是 $[0^{\circ}, 180^{\circ}]$[0∘,180∘]。二面角的大小就用它的平面角来度量。

求二面角的常用办法有两种：

• 定义法：在棱上取一点，在两个面内各作棱的垂线，直接得到平面角。
• 三垂线法：从一个面内的一点 $A$A 作另一个面的垂线 $AO$AO，再从垂足 $O$O 作棱的垂线 $OB$OB，连接 $AB$AB，则 $\angle ABO$∠ABO 就是平面角。

三垂线定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。它的逆定理也成立：平面内的直线与斜线垂直，则与斜线的射影垂直。三垂线法求二面角、判断垂直关系都靠它。

例：正方体棱长为 $a$a，求二面角 $A_1\text{-}BD\text{-}A$A1​-BD-A 的平面角的正切。取 $BD$BD 的中点 $O$O，连接 $A_1O$A1​O 与 $AO$AO。$A_1B = A_1D$A1​B=A1​D，所以 $A_1O \perp BD$A1​O⊥BD；$AB = AD$AB=AD，所以 $AO \perp BD$AO⊥BD，于是 $\angle A_1OA$∠A1​OA 是平面角。$AA_1 = a$AA1​=a，$AO = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a$AO=22​​a，$\tan\angle A_1OA = \dfrac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a} = \sqrt{2}$tan∠A1​OA=22​​aa​=2​。

点到平面的距离

点到平面的距离，是从这个点向平面所作垂线段的长度。求法有两种：

• 直接法：作出垂线段，放进直角三角形里算。
• 等体积法：把同一个三棱锥换一个顶点当顶点，体积相等，从 $\dfrac{1}{3}S_1 h_1 = \dfrac{1}{3}S_2 h_2$31​S1​h1​=31​S2​h2​ 里解出要求的高。当垂线不好作的时候，这个方法很有用。

例：正方体棱长为 $a$a，求点 $A$A 到平面 $A_1BD$A1​BD 的距离。三棱锥 $A\text{-}A_1BD$A-A1​BD 以 $\triangle ABD$△ABD 为底、$AA_1$AA1​ 为高，体积 $V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}a^2 \cdot a = \dfrac{a^3}{6}$V=31​⋅21​a2⋅a=6a3​。$\triangle A_1BD$△A1​BD 是边长 $\sqrt{2}\,a$2​a 的正三角形，面积 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2}\,a)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$S=43​​(2​a)2=23​​a2。再以 $\triangle A_1BD$△A1​BD 为底，设点 $A$A 到这个平面的距离是 $d$d，则 $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2 \cdot d = \dfrac{a^3}{6}$31​⋅23​​a2⋅d=6a3​，解得 $d = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a$d=33​​a。