解答题突破（一）：数列与解三角形两类保分题

本节导读

数学（文）的 4 道解答题都要写出推理或演算过程，这一节专攻其中步骤最固定、相对好拿分的两类：数列题和解三角形题。公式主线都讲过，见本课第 11 节《数列的概念与通项公式》、第 12 节《等差数列》、第 13 节《等比数列》和第 20 节《解三角形》，边角互化还要用到第 17 节《同角三角函数关系与诱导公式》。

主线按公式分讲，例题多是选择题；第 32 节《考前冲刺与应试策略》给数列题的固定步骤只有一句话。这一节不讲新公式，只把步骤排成照着走的链条，用原创的多小问题目逐行写出卷面格式和得分点，并讲清漏验首项、公比为 1、解的个数这三处失分。学完要做到：拿到题知道第一行写什么，写下的每一行都是得分点。

这一块在试卷里怎么考

按第 1 节《考试介绍与备考方法》的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院公告为准），试卷满分 150 分、考试 120 分钟：选择题 17 道共 85 分，填空题 4 道共 16 分，解答题 4 道共 49 分，每道解答题的分值题与题不同。4 道解答题各考哪几类、各占几分，各资料说法不一，这里不写死；第 32 节给出固定步骤的五类题里，数列题排第一；「三角题」那一条是化成 $A\sin(\omega x+\varphi)$Asin(ωx+φ) 再判断性质，管的是三角函数题，解三角形没有单列。

数列题问通项、前 $n$n 项和，或者由前 $n$n 项和求通项、再判断数列类型；解三角形问边、角、面积，条件里有时边角混在一起。两类题都按步骤给分，写对一步算一步。

容易丢分的有五处（第 11、13、20 节易错提醒）：由 $S_n$Sn​ 求 $a_n$an​ 不验首项；等比求和不看公比是不是 1；由 $q^2$q2 求 $q$q 只取正值；两边一对角只取锐角；面积公式用的不是夹角。

方法归纳

数列题照下面五步写，「出处」是主线课节：

步骤	做什么	这里要小心	出处
① 设基本量	设首项 $a_1$a1​、公差 $d$d（公比 $q$q）	「设」写在第一行	第 12、13 节
② 列方程组	每个条件写成关于 $a_1$a1​、$d$d（$q$q）的方程	通项里是 $n-1$n−1 个公差、$q$q 的 $n-1$n−1 次方	第 12、13 节
③ 解方程组	等差两式相减，等比两式相除	$q^2$q2 开方有两个值，按题设取舍	第 13 节
④ 写通项	代回通项公式并化简	代 $n=1$n=1 应得 $a_1$a1​	第 12、13 节
⑤ 求和	等差任选求和公式；等比先看 $q$q 是不是 1	$q=1$q=1 时 $S_n=na_1$Sn​=na1​	第 12、13 节

已知前 $n$n 项和就换一条路，分三行写：$a_1=S_1$a1​=S1​；$n\ge2$n≥2 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$an​=Sn​−Sn−1​；把 $n=1$n=1 代进第二行与 $a_1$a1​ 比较，相等就合并，不等就分段（第 11 节）。

解三角形照下面五步写：

步骤	做什么	这里要小心	出处
① 画图标量	标出已知的边和角	分清夹角、对边	第 20 节
② 统一边角	用 $a=2R\sin A$a=2RsinA 化边为角，或用余弦定理化角为边	化成角后用 $\sin(A+B)=\sin C$sin(A+B)=sinC 和同角关系	第 17、20 节
③ 选定理	两角一边、两边一对角用正弦定理；两边夹角、三边用余弦定理	先写定理原式再代数	第 20 节
④ 检验	由正弦值求角，看补角是否也满足内角和	大边对大角能排除一个	第 20 节
⑤ 求面积	$S=\frac{1}{2}ab\sin C$S=21​absinC	角必须是两边的夹角	第 20 节

两类题的卷面格式一样：先写「解：」并设未知量；每步写成「由……得……」，先写公式再代数；小问分别作答，每问末行写结论（第 1 节例题 3、第 32 节）。前一问没做出，后一问可以把它的结论当已知接着做（第 32 节）。

题型拆解

题型 1：已知两个条件，求通项与前 n 项和

识别特征：给出两项，或一项和一个和，问通项和前 $n$n 项和；有时再接一问，构造一个新数列。

分步解法：照五步写。比如等差数列中 $a_5=15$a5​=15，$S_4=20$S4​=20：列出 $a_1+4d=15$a1​+4d=15、$4a_1+6d=20$4a1​+6d=20；后式化为 $2a_1+3d=10$2a1​+3d=10，与前式的 2 倍相减得 $d=4$d=4，所以 $a_1=-1$a1​=−1，$a_n=4n-5$an​=4n−5，$S_n=2n^2-3n$Sn​=2n2−3n。

常见陷阱：等比求和直接套 $\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$1−qa1​(1−qn)​。它默认 $q\ne1$q=1，会把 $q=1$q=1 当成不合要求的根舍掉。比如 $a_1=2$a1​=2，$S_3=6$S3​=6：按定义写 $2+2q+2q^2=6$2+2q+2q2=6，得 $q=1$q=1 或 $q=-2$q=−2；$q=1$q=1 时三项都是 2，和正好是 6，两个都要。

题型 2：已知前 n 项和，求通项

识别特征：给出 $S_n$Sn​ 的表达式，问 $a_n$an​，或者问是不是等差、等比数列。

分步解法：照方法归纳的三行写，比较那一行不能省；判断等差（等比）数列，要从第 1 项起看相邻两项的差（比）。

常见陷阱：只看 $n\ge2$n≥2 的式子就下结论。比如 $S_n=2^n+3$Sn​=2n+3，$n\ge2$n≥2 时 $a_n=2^{n-1}$an​=2n−1，像等比数列；可是 $a_1=S_1=5$a1​=S1​=5，与 $2^{n-1}$2n−1 在 $n=1$n=1 时的值 1 对不上，所以通项要分段写，数列从第 2 项起才成等比。

题型 3：求边、角与面积

识别特征：条件是边和角的数值，或者是边角混在一起的等式，问边、角或面积。

分步解法：先统一边角，再选定理。比如 $a=5$a=5，$c=8$c=8，$B=60°$B=60°：两边夹角用余弦定理，$b^2=25+64-2\times5\times8\cos60°=49$b2=25+64−2×5×8cos60°=49，$b=7$b=7；再求 $A$A 也用余弦定理，$\cos A=\frac{49+64-25}{2\times7\times8}=\frac{11}{14}$cosA=2×7×849+64−25​=1411​。余弦值在 $0°$0° 到 $180°$180° 内只对应一个角，能用余弦定理求角就优先用，省去判断几解。

常见陷阱：由正弦值求角，要么只写锐角漏了一解，要么两个都写不检验。比如 $a=2\sqrt{3}$a=23​，$b=2$b=2，$A=60°$A=60°，得 $\sin B=\frac{1}{2}$sinB=21​，但 $150°+60°\gt180°$150°+60°>180°，$B$B 只能取 $30°$30°；用大边对大角更快：$b\lt a$b<a，所以 $B\lt A$B<A。已知角对的是较短的边时才可能两解（见例题 3）。