一元二次不等式与分式不等式

本节导读

一元二次不等式是不等式这一章的重点，也是后面很多题目的工具：求含根式、对数的函数的定义域，判断集合的包含关系，讨论二次函数是否与 $x$x 轴相交，都会用到它。试卷里它常以选择题出现，让你解一个不等式并选出解集；难一点的会放在解答题里，考「不等式对一切实数恒成立，求参数范围」。

学完这一节，你应该能借助二次函数的图像，按「一化二求三写」解一元二次不等式，会把分式不等式转化成整式不等式，并会用判别式处理恒成立问题。

一元二次不等式

解法：一化二求三写

一元二次不等式的标准形是 $ax^2 + bx + c \gt 0$ax2+bx+c>0 或 $ax^2 + bx + c \lt 0$ax2+bx+c<0。解题分三步：

1. 一化：把二次项系数化成正数。如果 $a \lt 0$a<0，两边同乘 $-1$−1，不等号要变向。
2. 二求：求对应方程 $ax^2 + bx + c = 0$ax2+bx+c=0 的根，也就是判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$Δ=b2−4ac 的符号和根的值。
3. 三写：对照二次函数 $y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c 的图像（开口向上），写出解集：图像在 $x$x 轴上方的部分对应「大于 0」，下方的部分对应「小于 0」。

三种情形

在 $a \gt 0$a>0 的前提下，按判别式分三类，得到下表：

判别式	方程的根	$ax^2 + bx + c \gt 0$ax2+bx+c>0 的解集	$ax^2 + bx + c \lt 0$ax2+bx+c<0 的解集
$\Delta \gt 0$Δ>0	两根 $x_1 \lt x_2$x1​<x2​	$x \lt x_1$x<x1​ 或 $x \gt x_2$x>x2​	$x_1 \lt x \lt x_2$x1​<x<x2​
$\Delta = 0$Δ=0	一个根 $x_1$x1​	$x \ne x_1$x=x1​	无解
$\Delta \lt 0$Δ<0	无实数根	全体实数 $\mathbf{R}$R	无解

最常用的是第一行，口诀是「大于取两边，小于取中间」。如果不等号带等号，解集的端点取得到，用方括号：$ax^2 + bx + c \ge 0$ax2+bx+c≥0 的解集是 $x \le x_1$x≤x1​ 或 $x \ge x_2$x≥x2​。

例子

解 $x^2 - 3x + 2 \lt 0$x2−3x+2<0：方程 $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$x2−3x+2=(x−1)(x−2)=0 的根是 1 和 2，小于取中间，解集是 $(1, 2)$(1,2)。

解 $-x^2 + 2x + 3 \gt 0$−x2+2x+3>0：二次项系数是负数，先两边同乘 $-1$−1 变号，得 $x^2 - 2x - 3 \lt 0$x2−2x−3<0，即 $(x - 3)(x + 1) \lt 0$(x−3)(x+1)<0，解集是 $(-1, 3)$(−1,3)。

解 $x^2 - 2x + 1 \gt 0$x2−2x+1>0：$\Delta = 0$Δ=0，式子就是 $(x - 1)^2 \gt 0$(x−1)2>0，只要 $x \ne 1$x=1 就成立，解集是 $x \ne 1$x=1；解 $x^2 + x + 1 \gt 0$x2+x+1>0：$\Delta = 1 - 4 = -3 \lt 0$Δ=1−4=−3<0，图像整个在 $x$x 轴上方，解集是 $\mathbf{R}$R。

分式不等式

分式不等式的关键，是不能随便去分母：分母的正负不知道，乘上去不等号该不该变向就不知道。正确的做法是把它转化成整式不等式：

分式不等式	转化成	注意
$\dfrac{f(x)}{g(x)} \gt 0$g(x)f(x)​>0	$f(x) \cdot g(x) \gt 0$f(x)⋅g(x)>0	两式同号
$\dfrac{f(x)}{g(x)} \lt 0$g(x)f(x)​<0	$f(x) \cdot g(x) \lt 0$f(x)⋅g(x)<0	两式异号
$\dfrac{f(x)}{g(x)} \ge 0$g(x)f(x)​≥0	$f(x) \cdot g(x) \ge 0$f(x)⋅g(x)≥0 且 $g(x) \ne 0$g(x)=0	分母不能为 0
$\dfrac{f(x)}{g(x)} \le 0$g(x)f(x)​≤0	$f(x) \cdot g(x) \le 0$f(x)⋅g(x)≤0 且 $g(x) \ne 0$g(x)=0	分母不能为 0

例如解 $\dfrac{x - 1}{x + 2} \le 0$x+2x−1​≤0：转化为 $(x - 1)(x + 2) \le 0$(x−1)(x+2)≤0 且 $x + 2 \ne 0$x+2=0，解 $(x - 1)(x + 2) \le 0$(x−1)(x+2)≤0 得 $-2 \le x \le 1$−2≤x≤1，再去掉 $x = -2$x=−2，解集是 $(-2, 1]$(−2,1]。

如果右边不是 0，要先移项、通分，把右边化成 0，再转化。例如解 $\dfrac{x + 1}{x - 2} \ge 1$x−2x+1​≥1：移项得 $\dfrac{x + 1}{x - 2} - 1 \ge 0$x−2x+1​−1≥0，通分得 $\dfrac{3}{x - 2} \ge 0$x−23​≥0，分子是正数，所以只要分母 $x - 2 \gt 0$x−2>0，解集是 $(2, +\infty)$(2,+∞)。

不等式恒成立问题

「对一切实数 $x$x，不等式恒成立」的问题，结论来自上面表格的最后一行（$\Delta \lt 0$Δ<0 时整条抛物线都在 $x$x 轴的同一侧），对二次不等式，有：

要求	条件
$ax^2 + bx + c \gt 0$ax2+bx+c>0 对一切实数恒成立	$a \gt 0$a>0 且 $\Delta \lt 0$Δ<0
$ax^2 + bx + c \lt 0$ax2+bx+c<0 对一切实数恒成立	$a \lt 0$a<0 且 $\Delta \lt 0$Δ<0

例如 $x^2 + mx + 1 \gt 0$x2+mx+1>0 对一切实数 $x$x 恒成立，因为 $a = 1 \gt 0$a=1>0，只需 $\Delta = m^2 - 4 \lt 0$Δ=m2−4<0，解得 $-2 \lt m \lt 2$−2<m<2。

当二次项系数里含有参数时，必须先讨论它是不是 0。例如 $mx^2 + 2mx + 1 \gt 0$mx2+2mx+1>0 恒成立：若 $m = 0$m=0，不等式变成 $1 \gt 0$1>0，恒成立；若 $m \ne 0$m=0，需要 $m \gt 0$m>0 且 $\Delta = 4m^2 - 4m \lt 0$Δ=4m2−4m<0，解得 $0 \lt m \lt 1$0<m<1。合起来，$0 \le m \lt 1$0≤m<1。

易错提醒

• ❌ 把 $x^2 - 4 \gt 0$x2−4>0 解成 $-2 \lt x \lt 2$−2<x<2。
  ✅ 大于取两边：$x \lt -2$x<−2 或 $x \gt 2$x>2。
  口诀别记反，拿不准时随手画一条抛物线。

• ❌ 对 $-x^2 + 4 \gt 0$−x2+4>0，直接套「大于取两边」。
  ✅ 先乘 $-1$−1 化成 $x^2 - 4 \lt 0$x2−4<0，再取中间：$-2 \lt x \lt 2$−2<x<2。
  口诀只适用于二次项系数为正的情形。

• ❌ 解 $\dfrac{x + 1}{x - 1} \gt 2$x−1x+1​>2 时，两边乘 $x - 1$x−1 得 $x + 1 \gt 2(x - 1)$x+1>2(x−1)。
  ✅ 先移项通分，$\dfrac{3 - x}{x - 1} \gt 0$x−13−x​>0，再转化为 $(3 - x)(x - 1) \gt 0$(3−x)(x−1)>0，得 $1 \lt x \lt 3$1<x<3。
  分母的符号不确定，不能直接乘。

• ❌ 把 $\dfrac{x - 1}{x + 2} \le 0$x+2x−1​≤0 的解集写成 $[-2, 1]$[−2,1]。
  ✅ 分母不能为零，$x = -2$x=−2 要去掉，解集是 $(-2, 1]$(−2,1]。
  分式不等式，分母不为零是一道必须检查的关。

• ❌ 解恒成立问题时，只列 $\Delta \lt 0$Δ<0，忘了二次项系数。
  ✅ 先讨论二次项系数是否为 0，再按 $a \gt 0$a>0 或 $a \lt 0$a<0 配合 $\Delta \lt 0$Δ<0 来解。
  $\Delta \lt 0$Δ<0 只能保证图像与 $x$x 轴不相交，在上方还是下方要看开口。

例题精讲

例题 1

不等式 $2x^2 - 5x - 3 \lt 0$2x2−5x−3<0 的解集是

A. $\left(-\dfrac{1}{2}, 3\right)$(−21​,3)　　B. $\left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (3, +\infty)$(−∞,−21​)∪(3,+∞)　　C. $\left(-3, \dfrac{1}{2}\right)$(−3,21​)　　D. $\left[-\dfrac{1}{2}, 3\right]$[−21​,3]

答案：A

解析：因式分解，$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$2x2−5x−3=(2x+1)(x−3)，方程的根是 $-\dfrac{1}{2}$−21​ 和 $3$3。二次项系数为正，小于取中间，解集是 $\left(-\dfrac{1}{2}, 3\right)$(−21​,3)。B 是「大于」的解集，D 把端点包含进去了，C 的符号错了。

例题 2

不等式 $\dfrac{x - 1}{x + 2} \le 0$x+2x−1​≤0 的解集是

A. $[-2, 1]$[−2,1]　　B. $(-2, 1]$(−2,1]　　C. $(-\infty, -2) \cup [1, +\infty)$(−∞,−2)∪[1,+∞)　　D. $(-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$(−∞,−2]∪[1,+∞)

答案：B

解析：转化为 $(x - 1)(x + 2) \le 0$(x−1)(x+2)≤0，得 $-2 \le x \le 1$−2≤x≤1；分母不能为 0，所以去掉 $x = -2$x=−2，得 $(-2, 1]$(−2,1]。A 忘了分母不为 0；C、D 是「大于」情形的解集。

例题 3

若不等式 $x^2 + mx + 1 \gt 0$x2+mx+1>0 对一切实数 $x$x 恒成立，则 $m$m 的取值范围是

A. $m \lt 2$m<2　　B. $-2 \lt m \lt 2$−2<m<2　　C. $m \le -2$m≤−2 或 $m \ge 2$m≥2　　D. $-2 \le m \le 2$−2≤m≤2

答案：B

解析：二次项系数 $1 \gt 0$1>0，图像开口向上，恒在 $x$x 轴上方的条件是 $\Delta \lt 0$Δ<0，即 $m^2 - 4 \lt 0$m2−4<0，解得 $-2 \lt m \lt 2$−2<m<2。D 把 $\Delta = 0$Δ=0 也算进去了，那时 $x = \mp 1$x=∓1 处函数值为 0，不满足 $\gt 0$>0。

本节小结

• 解一元二次不等式：一化（二次项系数化正）、二求（求根）、三写（对照图像写解集）。
• $a \gt 0$a>0、$\Delta \gt 0$Δ>0 时，大于取两边，小于取中间；$\Delta = 0$Δ=0 与 $\Delta \lt 0$Δ<0 的情形要会写。
• 分式不等式不能直接去分母，要移项通分把右边化成 0，转化成整式不等式；$\ge$≥、$\le$≤ 时分母不为 0。
• 二次不等式 $ax^2 + bx + c \gt 0$ax2+bx+c>0 恒成立：$a \gt 0$a>0 且 $\Delta \lt 0$Δ<0；二次项系数含参数时先讨论是否为 0。