解三角形

本节导读

解三角形是三角部分的压轴内容，也是解答题的常客：在 $\triangle ABC$△ABC 中，已知两边和夹角，求第三边和面积；已知三边，求某个角；已知两个角和一条边，求另外两条边。选择题和填空题里则常考求某条边、某个角、面积、外接圆半径，或者判断三角形的形状。这一节的工具只有三样——正弦定理、余弦定理和面积公式，关键是看清已知条件，选对工具。

学完这一节，你应该能写出三个公式，会按已知条件选择定理解三角形，会注意「两边一对角」可能有两解，并会用定理判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。

基础知识

$\triangle ABC$△ABC 的三个内角 $A$A、$B$B、$C$C 所对的边分别是 $a$a、$b$b、$c$c。有几条最基本的结论：内角和 $A + B + C = 180°$A+B+C=180°；任意两边之和大于第三边；大边对大角，大角对大边。后面用到的 $\sin(A + B) = \sin C$sin(A+B)=sinC、$\cos(A + B) = -\cos C$cos(A+B)=−cosC，都来自内角和为 $180°$180° 和诱导公式。

正弦定理

在 $\triangle ABC$△ABC 中，各边与它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆直径：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$sinAa​=sinBb​=sinCc​=2R

其中 $R$R 是 $\triangle ABC$△ABC 外接圆的半径。它还可以变形成 $a = 2R\sin A$a=2RsinA，$\sin A = \dfrac{a}{2R}$sinA=2Ra​。

正弦定理适用于两类问题：一是已知两个角和任意一条边，二是已知两条边和其中一边的对角。例如 $\triangle ABC$△ABC 中，$A = 30°$A=30°，$B = 45°$B=45°，$a = 4$a=4：$\dfrac{b}{\sin 45°} = \dfrac{4}{\sin 30°}$sin45°b​=sin30°4​，所以 $b = \dfrac{4 \sin 45°}{\sin 30°} = \dfrac{4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$b=sin30°4sin45°​=21​4×22​​​=42​。

已知两边和其中一边的对角时，要小心可能有两个解。例如 $a = 2$a=2，$b = \sqrt{6}$b=6​，$A = 45°$A=45°：$\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$sinB=absinA​=26​×22​​​=23​​，$B$B 可以是 $60°$60°，也可以是 $120°$120°；因为 $45° + 120° \lt 180°$45°+120°<180°，两个值都符合三角形内角和的要求，所以有两解。判断的依据是：$\sin B$sinB 对应的两个角（锐角和它的补角）能不能都满足内角和小于 $180°$180°，以及「大边对大角」。

余弦定理

三角形任何一边的平方，等于另两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的乘积的两倍：

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, \qquad \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$a2=b2+c2−2bccosA,cosA=2bcb2+c2−a2​

$b^2$b2、$c^2$c2 的式子完全类似。余弦定理适用于两类问题：已知两边和它们的夹角，求第三边；已知三边，求各角。

例如 $a = 3$a=3，$b = 5$b=5，$C = 120°$C=120°（$C$C 是 $a$a、$b$b 的夹角）：$c^2 = 9 + 25 - 2 \times 3 \times 5 \times \cos 120° = 34 - 30 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 49$c2=9+25−2×3×5×cos120°=34−30×(−21​)=49，$c = 7$c=7。反过来，已知三边 $3, 5, 7$3,5,7，求最大角：$\cos C = \dfrac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} = -\dfrac{1}{2}$cosC=2×3×59+25−49​=−21​，$C = 120°$C=120°。

由 $\cos A$cosA 的符号可以判断角的大小：$b^2 + c^2 - a^2 \gt 0$b2+c2−a2>0 时 $A$A 是锐角，$= 0$=0 时是直角，$\lt 0$<0 时是钝角。所以，三边里最大的那条边的平方，与另两边的平方和比较，就能判断三角形的形状。

三角形的面积

面积等于两边与它们夹角正弦的乘积的一半：

$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$$S=21​absinC=21​bcsinA=21​acsinB

注意用的角必须是这两条边的夹角。例如上面的 $a = 3$a=3，$b = 5$b=5，$C = 120°$C=120°：$S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin 120° = \dfrac{15}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$S=21​×3×5×sin120°=215​×23​​=4153​​。