三角函数的图像与性质

本节导读

前面几节学的是三角函数的值，这一节把三角函数看成函数，研究它们的图像和性质。试卷里的考法有：求最小正周期，这是出现频率很高的考点；求值域或最值，尤其是先用辅助角公式化成 $A\sin(\omega x + \varphi)$Asin(ωx+φ) 之后；判断奇偶性、单调区间、对称轴；以及图像的平移变换。题型多是选择题和填空题，解答题里偶尔以「化简后求周期和单调区间」的形式出现。

学完这一节，你应该能说出正弦、余弦、正切函数的主要性质，会用公式 $T = \dfrac{2\pi}{\lvert\omega\rvert}$T=∣ω∣2π​ 求周期，会求正弦型函数的最值和值域，并能说出平移的方向和大小。

正弦函数与余弦函数

图像

正弦函数 $y = \sin x$y=sinx 和余弦函数 $y = \cos x$y=cosx 的图像都是连续不断的波浪线，在 $-1$−1 和 $1$1 之间上下起伏，每隔 $2\pi$2π 重复一次。正弦曲线过原点，余弦曲线过点 $(0, 1)$(0,1)，把正弦曲线向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$2π​ 个单位，就得到余弦曲线。画一个周期的图像常用「五点法」，取 $x = 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi$x=0,2π​,π,23π​,2π 五个点，对 $y = \sin x$y=sinx 依次是 $0, 1, 0, -1, 0$0,1,0,−1,0。

性质

下面两张表中的 $k$k 都表示任意整数。先看基本性质：

性质	$y = \sin x$y=sinx	$y = \cos x$y=cosx
定义域	$\mathbf{R}$R	$\mathbf{R}$R
值域	$[-1, 1]$[−1,1]	$[-1, 1]$[−1,1]
最小正周期	$2\pi$2π	$2\pi$2π
奇偶性	奇函数	偶函数

再看单调性、最值和对称性：

性质	$y = \sin x$y=sinx	$y = \cos x$y=cosx
增区间	$\left[2k\pi - \dfrac{\pi}{2},\ 2k\pi + \dfrac{\pi}{2}\right]$[2kπ−2π​, 2kπ+2π​]	$\left[2k\pi - \pi,\ 2k\pi\right]$[2kπ−π, 2kπ]
减区间	$\left[2k\pi + \dfrac{\pi}{2},\ 2k\pi + \dfrac{3\pi}{2}\right]$[2kπ+2π​, 2kπ+23π​]	$\left[2k\pi,\ 2k\pi + \pi\right]$[2kπ, 2kπ+π]
最大值 1	$x = 2k\pi + \dfrac{\pi}{2}$x=2kπ+2π​	$x = 2k\pi$x=2kπ
最小值 $-1$−1	$x = 2k\pi - \dfrac{\pi}{2}$x=2kπ−2π​	$x = 2k\pi + \pi$x=2kπ+π
对称轴	$x = k\pi + \dfrac{\pi}{2}$x=kπ+2π​	$x = k\pi$x=kπ
对称中心	$(k\pi, 0)$(kπ,0)	$\left(k\pi + \dfrac{\pi}{2}, 0\right)$(kπ+2π​,0)

记忆窍门：最大值、最小值处的 $x$x，正好是对称轴；零点处的 $x$x，正好是对称中心的横坐标。

正切函数

$y = \tan x$y=tanx 的定义域是 $x \ne k\pi + \dfrac{\pi}{2}$x=kπ+2π​（$k \in \mathbf{Z}$k∈Z），值域是 $\mathbf{R}$R，没有最大值和最小值；它是奇函数，最小正周期是 $\pi$π；在每一个区间 $\left(k\pi - \dfrac{\pi}{2},\ k\pi + \dfrac{\pi}{2}\right)$(kπ−2π​, kπ+2π​) 内都是增函数，但在整个定义域上不是增函数。图像被直线 $x = k\pi + \dfrac{\pi}{2}$x=kπ+2π​ 隔成一段一段，对称中心是 $\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$(2kπ​,0)。

周期

如果存在一个不为零的常数 $T$T，使得对定义域内的每一个 $x$x，都有 $f(x + T) = f(x)$f(x+T)=f(x)，就说 $f(x)$f(x) 是周期函数，$T$T 是它的一个周期；所有正周期中最小的那个叫最小正周期。考试里的「周期」都是指最小正周期。

对形如 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$y=Asin(ωx+φ) 或 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$y=Acos(ωx+φ) 的函数，周期只由 $\omega$ω 决定；正切型函数也一样：

函数	最小正周期
$y = A\sin(\omega x + \varphi)$y=Asin(ωx+φ)、$y = A\cos(\omega x + \varphi)$y=Acos(ωx+φ)	$T = \dfrac{2\pi}{\lvert\omega\rvert}$T=∣ω∣2π​
$y = A\tan(\omega x + \varphi)$y=Atan(ωx+φ)	$T = \dfrac{\pi}{\lvert\omega\rvert}$T=∣ω∣π​

例如 $y = \sin 2x$y=sin2x 的周期是 $\pi$π；$y = 3\cos\dfrac{x}{2}$y=3cos2x​ 的周期是 $\dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$1/22π​=4π；$y = \tan 3x$y=tan3x 的周期是 $\dfrac{\pi}{3}$3π​。有些函数要先化简再求周期，如 $y = \sin x\cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x$y=sinxcosx=21​sin2x，周期是 $\pi$π；$y = \sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$y=sin2x=21−cos2x​，周期也是 $\pi$π。

正弦型函数

形如 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$y=Asin(ωx+φ)（$A \gt 0$A>0，$\omega \gt 0$ω>0）的函数叫正弦型函数，几个量的名称是：$A$A 叫振幅，值域是 $[-A, A]$[−A,A]；$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$T=ω2π​ 是周期；$\omega x + \varphi$ωx+φ 叫相位，$\varphi$φ 叫初相。

由 $y = \sin x$y=sinx 变换得到

分三步，每一步的叙述要清楚：

步骤	变换	得到
平移	向左（$\varphi \gt 0$φ>0）或向右（$\varphi \lt 0$φ<0）平移 $\lvert\varphi\rvert$∣φ∣ 个单位	$y = \sin(x + \varphi)$y=sin(x+φ)
横向伸缩	横坐标变为原来的 $\dfrac{1}{\omega}$ω1​ 倍，纵坐标不变	$y = \sin(\omega x + \varphi)$y=sin(ωx+φ)
纵向伸缩	纵坐标变为原来的 $A$A 倍，横坐标不变	$y = A\sin(\omega x + \varphi)$y=Asin(ωx+φ)