抛物线与直线和圆锥曲线的位置关系

本节导读

这一节有两块内容。前一半学抛物线：它的定义、四种标准方程、焦点和准线。后一半是圆锥曲线这一章的综合应用：直线和椭圆、双曲线、抛物线怎样联立，怎样用判别式判断位置关系，怎样求弦长。解答题里的圆锥曲线题，大多是后一半的内容。

学完这一节，你应该能由抛物线方程写出焦点和准线，由条件求抛物线方程，会用焦半径公式；会把直线方程代入曲线方程消元，用判别式判断公共点的个数；会用弦长公式求直线被曲线截得的弦长。

抛物线的定义与标准方程

平面内与一个定点 $F$F 和一条定直线 $l$l（$F$F 不在 $l$l 上）的距离相等的点的集合叫抛物线，定点 $F$F 叫焦点，定直线 $l$l 叫准线。焦点到准线的距离记作 $p$p（$p \gt 0$p>0）。

取过焦点且垂直于准线的直线为坐标轴，顶点放在原点，抛物线有四种标准方程：

开口方向	标准方程	焦点	准线
向右	$y^2 = 2px$y2=2px	$\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$(2p​,0)	$x = -\dfrac{p}{2}$x=−2p​
向左	$y^2 = -2px$y2=−2px	$\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$(−2p​,0)	$x = \dfrac{p}{2}$x=2p​
向上	$x^2 = 2py$x2=2py	$\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$(0,2p​)	$y = -\dfrac{p}{2}$y=−2p​
向下	$x^2 = -2py$x2=−2py	$\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$(0,−2p​)	$y = \dfrac{p}{2}$y=2p​

用法：先把方程化成标准形式，对照系数求出 $p$p，再写焦点和准线。例如 $y^2 = 8x$y2=8x，$2p = 8$2p=8，$p = 4$p=4，开口向右，焦点 $(2, 0)$(2,0)，准线 $x = -2$x=−2。又如 $x^2 = -12y$x2=−12y，$2p = 12$2p=12，$p = 6$p=6，开口向下，焦点 $(0, -3)$(0,−3)，准线 $y = 3$y=3。

求方程时，先由焦点或准线确定开口方向，再求 $p$p。例如焦点是 $(0, 2)$(0,2)，开口向上，$\dfrac{p}{2} = 2$2p​=2，$p = 4$p=4，方程是 $x^2 = 8y$x2=8y；准线是 $x = 3$x=3，开口向左，$\dfrac{p}{2} = 3$2p​=3，$p = 6$p=6，方程是 $y^2 = -12x$y2=−12x。

抛物线的几何性质

以 $y^2 = 2px$y2=2px（$p \gt 0$p>0）为例：

性质	内容
范围	$x \ge 0$x≥0，$y$y 取任意实数
对称轴	$x$x 轴
顶点	原点 $(0, 0)$(0,0)
离心率	$e = 1$e=1
焦半径	抛物线上点 $P(x_0, y_0)$P(x0​,y0​) 到焦点的距离 $\lvert PF \rvert = x_0 + \dfrac{p}{2}$∣PF∣=x0​+2p​
通径	过焦点且垂直于对称轴的弦，长为 $2p$2p

焦半径公式来自定义：抛物线上的点到焦点的距离，等于它到准线 $x = -\dfrac{p}{2}$x=−2p​ 的距离。例如 $y^2 = 8x$y2=8x 上横坐标为 3 的点，到焦点的距离是 $3 + 2 = 5$3+2=5。开口向上的 $x^2 = 2py$x2=2py，焦半径是 $y_0 + \dfrac{p}{2}$y0​+2p​。

过焦点的弦叫焦点弦。对 $y^2 = 2px$y2=2px，设焦点弦两端点的横坐标是 $x_1$x1​、$x_2$x2​，则弦长 $\lvert AB \rvert = x_1 + x_2 + p$∣AB∣=x1​+x2​+p，这个结论可以用来核对计算结果。

直线与圆锥曲线的位置关系

直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，统一用代数办法：联立直线方程和曲线方程，消去 $y$y（或 $x$x），得到一个关于 $x$x 的方程，再看判别式。

设直线为 $y = kx + m$y=kx+m，代入曲线方程，消元后得到 $Ax^2 + Bx + C = 0$Ax2+Bx+C=0：

• 若 $A \ne 0$A=0：$\Delta \gt 0$Δ>0，有两个公共点（相交）；$\Delta = 0$Δ=0，有一个公共点（相切）；$\Delta \lt 0$Δ<0，没有公共点（相离）。
• 若 $A = 0$A=0：方程变成一次方程。对抛物线，这是直线平行于对称轴的情形；对双曲线，是直线平行于渐近线的情形。此时直线与曲线只有一个公共点，但不是相切。

例如直线 $y = x + m$y=x+m 与椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$9x2​+4y2​=1：代入得 $4x^2 + 9(x + m)^2 = 36$4x2+9(x+m)2=36，整理为 $13x^2 + 18mx + 9m^2 - 36 = 0$13x2+18mx+9m2−36=0，$\Delta = 324m^2 - 52(9m^2 - 36) = 144(13 - m^2)$Δ=324m2−52(9m2−36)=144(13−m2)。所以 $\lvert m \rvert \lt \sqrt{13}$∣m∣<13​ 时相交，$\lvert m \rvert = \sqrt{13}$∣m∣=13​ 时相切，$\lvert m \rvert \gt \sqrt{13}$∣m∣>13​ 时相离。

再如过点 $(0, 1)$(0,1) 且与抛物线 $y^2 = 4x$y2=4x 只有一个公共点的直线，共有三条：斜率不存在的 $x = 0$x=0，它与抛物线相切于顶点；斜率为 0 的 $y = 1$y=1，它平行于对称轴；还有相切的 $y = x + 1$y=x+1。后两条可以这样得到：设 $y = kx + 1$y=kx+1，代入得 $k^2 x^2 + (2k - 4)x + 1 = 0$k2x2+(2k−4)x+1=0，$k = 0$k=0 时是一次方程，$k \ne 0$k=0 时令 $\Delta = 16 - 16k = 0$Δ=16−16k=0，得 $k = 1$k=1。

弦长公式

直线 $y = kx + m$y=kx+m 与曲线相交于 $A(x_1, y_1)$A(x1​,y1​)、$B(x_2, y_2)$B(x2​,y2​) 两点，则

$$\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + k^2} \cdot \lvert x_1 - x_2 \rvert$$∣AB∣=1+k2​⋅∣x1​−x2​∣