代数运算基本功：因式分解、分式与根式化简

本节导读

后面各节都默认你会几样运算：解一元二次不等式要先因式分解（第 10 节），二次函数求顶点要配方（第 6 节），指数、对数的化简离不开根式（第 7、8 节），解答题最后也都落到解方程、化简分式上。有的题思路是对的，分数却丢在这几步。

第 1 节入门诊断的前 6 题错了 3 题以上的，第 1 节建议「必要时先翻一翻初中的方程和函数」，其中运算和解方程这一块可以先用这一节补（初中的函数本节不讲），补完再回到第 2 节按顺序往下学；做题时总在化简这一步出错的，也可以随时回来练。用法：每项先读规则，再盖住示范自己算，对完答案看「常见错」；两个示范都做对的项可以跳过，最后做本节练习里的计算过关题。

卡点清单：先查自己卡在哪

卡点	典型表现	后面哪几节要用	本节对应
乘法公式与十字相乘	一元二次式分解不出来，只能硬套求根公式	第 6、10 节，导数（第 34 节）	训练一
分式的通分与约分	约掉了「项」；通分后分子漏乘	第 10 节分式不等式	训练二
根式化简与分母有理化	根号里留着平方因数，分母留着根号	第 7、8、18 节	训练三
解一次方程与方程组	去分母漏乘，消元消错	第 6 节待定系数、第 33 节	训练四
去括号、移项的符号	负号只变了第一项；移项忘了变号	全课	训练五

分项训练

训练一：乘法公式与十字相乘

规则：三个乘法公式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$(a−b)2=a2−2ab+b2，$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a−b)=a2−b2，从右往左用就是因式分解，倒过来凑完全平方就是配方（第 6 节）。十字相乘分解 $ax^2+bx+c$ax2+bx+c：$a$a、$c$c 各拆成两个因数分写左右两边，交叉相乘再相加等于 $b$b，就分解成功；凑不出整数再用求根公式。

示范 1：分解 $4x^2-12x+9$4x2−12x+9。首末两项是 $(2x)^2$(2x)2 和 $3^2$32，中间项 $12x=2\times2x\times3$12x=2×2x×3，符合完全平方公式，所以 $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$4x2−12x+9=(2x−3)2。

示范 2：分解 $2x^2-x-6$2x2−x−6。$2=1\times2$2=1×2，$-6=(-2)\times3$−6=(−2)×3，交叉相乘 $1\times3+2\times(-2)=-1$1×3+2×(−2)=−1，正好是一次项系数，所以 $2x^2-x-6=(x-2)(2x+3)$2x2−x−6=(x−2)(2x+3)。展开验一次项：$3x-4x=-x$3x−4x=−x，对。

常见错：

• ❌ $(a-b)^2=a^2-b^2$(a−b)2=a2−b2，漏了中间项。✅ 完全平方展开后是三项。
• ❌ 十字相乘只凑出常数项，一次项的符号没验。✅ 分解完展开，核对一次项。
• ❌ $(3x)^2$(3x)2 写成 $3x^2$3x2。✅ 系数也要平方，是 $9x^2$9x2。

训练二：分式的通分与约分

规则：约分前先把分子、分母分解因式，约去的必须是公因式，不能约「项」。通分时把各分母分解因式，每个因式取最高次幂相乘，作最简公分母，每个分子乘上自己缺的因式。分母不能为 0，约分前先记下取不到的值。

示范 1：约分 $\frac{x^2-9}{x^2+x-6}$x2+x−6x2−9​。分子 $x^2-9=(x+3)(x-3)$x2−9=(x+3)(x−3)，分母 $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$x2+x−6=(x+3)(x−2)，约去 $x+3$x+3，得 $\frac{x-3}{x-2}$x−2x−3​（$x\ne-3$x=−3 且 $x\ne2$x=2）。

示范 2：计算 $\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}$x−12​−x+11​。最简公分母是 $(x-1)(x+1)$(x−1)(x+1)，原式 $=\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+2-x+1}{x^2-1}=\frac{x+3}{x^2-1}$=(x−1)(x+1)2(x+1)−(x−1)​=x2−12x+2−x+1​=x2−1x+3​。

常见错：

• ❌ 把 $\frac{x+4}{x+7}$x+7x+4​ 约成 $\frac{4}{7}$74​。✅ $x$x 是「项」不是因式，这个分式不能再约。
• ❌ 减号后面的分子不加括号，$-(x-1)$−(x−1) 写成 $-x-1$−x−1。✅ 整个分子带括号相减（见训练五）。
• ❌ 约分后忘了原来分母为 0 的值。✅ 解方程、不等式时把这些值排除。

训练三：根式化简与分母有理化

规则：$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$a2b​=ab​（$a\ge0$a≥0，$b\ge0$b≥0），$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$a​⋅b​=ab​；最简根式的根号里不含开得尽方的因数、不含分母，同类根式才能合并；$\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert$a2​=∣a∣。分母有理化：分母是 $\sqrt{a}$a​，上下同乘 $\sqrt{a}$a​；分母是 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$a​−b​、$m+\sqrt{b}$m+b​ 这类，上下同乘中间符号相反的式子，用平方差消去根号。第 7、8 节还要把根式写成分数指数幂，如 $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$a​=a21​。

示范 1：计算 $\sqrt{48}+\sqrt{27}-\sqrt{75}$48​+27​−75​。$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$48​=16×3​=43​，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$27​=33​，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$75​=53​，是同类根式，合并得 $2\sqrt{3}$23​。

示范 2：化简 $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$5​−3​2​。分子分母同乘 $\sqrt{5}+\sqrt{3}$5​+3​，分母用平方差：$\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$5−32(5​+3​)​=5​+3​。

常见错：

• ❌ $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$a+b​=a​+b​。✅ 和的根号不能拆开，$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\ne2+3$4+9​=13​=2+3。
• ❌ 有理化时只乘了分母，分子没乘。✅ 分子分母乘同一个式子，分式的值才不变。
• ❌ 把 $\sqrt{x^2}$x2​ 直接写成 $x$x。✅ 应当是 $\lvert x\rvert$∣x∣，再看 $x$x 的正负去绝对值。