数列的概念与通项公式

本节导读

数列是代数部分的第四个板块，后面的等差数列和等比数列都是它的特例。这一节先把基本概念和三种「表示数列」的方式讲清楚：通项公式、递推公式、前 $n$n 项和。试卷里，这一节的内容很少单独出大题，但常以选择题或填空题的形式出现：由通项求某一项，判断某个数是不是数列的项，由递推公式逐项算出结果，以及由前 $n$n 项和 $S_n$Sn​ 求通项 $a_n$an​。

学完这一节，你应该能区分「项」和「项数」，会用通项公式和递推公式求具体的项，会用观察法归纳常见数列的通项，并熟练掌握 $a_n = S_n - S_{n-1}$an​=Sn​−Sn−1​ 这个公式以及它的使用条件。

数列的概念

按照一定顺序排列的一列数叫数列，数列中的每一个数叫这个数列的项。排在第一位的叫第 1 项，也叫首项，记作 $a_1$a1​；排在第 $n$n 位的叫第 $n$n 项，记作 $a_n$an​。整个数列记作 $\{a_n\}${an​}。项数有限的叫有穷数列，项数无限的叫无穷数列。

从函数的角度看，数列是定义域为正整数集 $\mathbf{N}^*$N∗（或它的有限子集）的函数 $a_n = f(n)$an​=f(n)，图像是一些孤立的点。因此数列也可以按增减分类：如果对任何 $n$n 都有 $a_{n+1} \gt a_n$an+1​>an​，叫递增数列；都有 $a_{n+1} \lt a_n$an+1​<an​，叫递减数列；各项都相等叫常数列。

要特别分清「项」和「项数」：项是数列里的那个数，项数是它的序号。例如数列 $2, 4, 6, 8, \cdots$2,4,6,8,⋯ 中，6 是第 3 项，6 是项，3 是项数。

通项公式与递推公式

通项公式

如果数列 $\{a_n\}${an​} 的第 $n$n 项 $a_n$an​ 能用 $n$n 的式子来表示，这个式子就叫通项公式。有了通项公式，代入 $n$n 就能求任意一项。例如 $a_n = 2n - 1$an​=2n−1，则 $a_1 = 1$a1​=1，$a_2 = 3$a2​=3，$a_3 = 5$a3​=5，$a_{10} = 19$a10​=19。

反过来，由前几项归纳通项公式，要观察每一项与它的序号 $n$n 的关系。下面是最常见的几种模式，要熟悉：

数列	通项公式	观察要点
$1, 2, 3, 4, \cdots$1,2,3,4,⋯	$a_n = n$an​=n	项就是序号
$1, 3, 5, 7, \cdots$1,3,5,7,⋯	$a_n = 2n - 1$an​=2n−1	奇数，差为 2
$2, 4, 6, 8, \cdots$2,4,6,8,⋯	$a_n = 2n$an​=2n	偶数
$1, 4, 9, 16, \cdots$1,4,9,16,⋯	$a_n = n^2$an​=n2	平方数
$2, 4, 8, 16, \cdots$2,4,8,16,⋯	$a_n = 2^n$an​=2n	后项是前项的 2 倍
$1, -1, 1, -1, \cdots$1,−1,1,−1,⋯	$a_n = (-1)^{n+1}$an​=(−1)n+1	正负交替，首项为正
$1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \cdots$1,21​,31​,41​,⋯	$a_n = \dfrac{1}{n}$an​=n1​	分母是序号
$\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}, \cdots$21​,32​,43​,54​,⋯	$a_n = \dfrac{n}{n+1}$an​=n+1n​	分子是 $n$n，分母是 $n + 1$n+1

判断某个数是不是数列的项：令 $a_n$an​ 等于这个数，解方程求 $n$n，如果 $n$n 是正整数就是数列的项，否则不是。例如 $a_n = n^2 - 3n$an​=n2−3n，令 $n^2 - 3n = 10$n2−3n=10，$(n - 5)(n + 2) = 0$(n−5)(n+2)=0，$n = 5$n=5 或 $n = -2$n=−2，$n = -2$n=−2 不是正整数，舍去，所以 10 是第 5 项。

递推公式

如果已知数列的首项（或前几项），并且给出相邻两项之间的关系，也可以确定整个数列，这种关系叫递推公式。例如 $a_1 = 1$a1​=1，$a_{n+1} = 2a_n + 1$an+1​=2an​+1：由 $a_1 = 1$a1​=1 得 $a_2 = 2 \times 1 + 1 = 3$a2​=2×1+1=3，$a_3 = 2 \times 3 + 1 = 7$a3​=2×3+1=7，$a_4 = 2 \times 7 + 1 = 15$a4​=2×7+1=15。用递推公式求项，就是从已知项出发，一项一项往后算，不要跳步。

数列的前 $n$n 项和

数列 $\{a_n\}${an​} 的前 $n$n 项的和记作 $S_n$Sn​，即

$$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$$Sn​=a1​+a2​+⋯+an​

$S_n$Sn​ 与 $a_n$an​ 之间有一条非常重要的关系：

$$a_n = \begin{cases} S_1, & n = 1 \\ S_n - S_{n-1}, & n \ge 2 \end{cases}$$an​={S1​,Sn​−Sn−1​,​n=1n≥2​