解答题突破（三）：直线与圆锥曲线的联立与弦长

本节导读

直线与圆锥曲线的解答题问法固定：先求曲线方程，再让一条直线与曲线相交，求弦长、中点或面积。用到的知识分散在本课第 23 节《直线的斜率与直线方程》、第 24 节《两直线的位置关系与距离》、第 25 节《圆的方程与直线和圆的位置关系》、第 26 节《椭圆》、第 27 节《双曲线》和第 28 节《抛物线与直线和圆锥曲线的位置关系》。

第 28 节后半节讲了联立、判别式和弦长公式，例题都是选择题，没有从求方程一路做到弦长的整题。这一节把它们串成一条步骤链，用原创的多小问题目按卷面格式写全；最后一问计算较繁，重点放在前两问拿稳，最后一问能写几步写几步。

这一块在试卷里怎么考

按第 1 节《考试介绍与备考方法》的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院公告为准），解答题 4 道共 49 分，每道分值题与题不同；圆锥曲线题占几分，各资料说法不一，这里不写死。第 32 节给它的固定步骤是「联立、判别式、韦达定理、弦长」。

问法一般分三层：第一问由离心率、焦点、准线或曲线上的点求方程；第二问联立直线与曲线，判断交点或求参数范围；第三问求弦长、弦的中点或三角形面积。

容易丢分的有四处（第 26、28、32 节易错提醒）：设直线时漏了斜率不存在的情形；联立后不看判别式就用韦达定理；焦点在哪条轴上弄错；弦长公式漏乘 $\sqrt{1+k^2}$1+k2​。

方法归纳

照下面的步骤链写，「出处」是主线课节：

步骤	写什么	这里要小心	出处
① 求方程	先定位（焦点在哪条轴），再定量（求 $a^2$a2、$b^2$b2 或 $p$p）	椭圆 $c^2=a^2-b^2$c2=a2−b2；$y^2=2px$y2=2px 的焦点是 $\left(\frac{p}{2},0\right)$(2p​,0)	第 26、28 节
② 设直线	斜率存在时设 $y=kx+m$y=kx+m，过定点时设 $y-y_0=k(x-x_0)$y−y0​=k(x−x0​)	先单独看斜率不存在的 $x=t$x=t	第 23、28 节
③ 联立消元	代入曲线方程，整理成 $Ax^2+Bx+C=0$Ax2+Bx+C=0	先看 $A$A 是不是 0	第 28 节
④ 判别式	写出 $\Delta$Δ，按题意要求 $\Delta\gt0$Δ>0 或 $\Delta=0$Δ=0	用韦达定理之前必须有 $\Delta\gt0$Δ>0	第 28 节
⑤ 韦达定理	写出 $x_1+x_2$x1​+x2​、$x_1x_2$x1​x2​	不必解出两个根	第 28 节

最后一问按问的是什么选公式：

问什么	用什么	出处
弦长	$\lvert AB\rvert=\sqrt{1+k^2}\cdot\lvert x_1-x_2\rvert$∣AB∣=1+k2​⋅∣x1​−x2​∣，竖直弦用 $\lvert y_1-y_2\rvert$∣y1​−y2​∣	第 28 节
过抛物线焦点的弦	$\lvert AB\rvert=x_1+x_2+p$∣AB∣=x1​+x2​+p	第 28 节
弦的中点	横坐标 $\frac{x_1+x_2}{2}$2x1​+x2​​，代入直线求纵坐标	第 28 节
三角形面积	弦长作底，点到直线的距离作高	第 24 节

只会前两问时，第三问也别空着：把联立后的方程、$\Delta$Δ、韦达定理、弦长或距离的表达式先写上（第 1 节：先写能写的步骤；第 32 节：会做多少就写多少）。

题型拆解

题型 1：由已知条件求椭圆或抛物线的方程

识别特征：给出离心率、焦距、长轴或短轴长、焦点或准线、曲线上一点中的两个条件。

分步解法：先定位，再列关于 $a$a、$b$b、$c$c（或 $p$p）的方程。比如焦点在 $y$y 轴上、焦距为 4、经过点 $(0,3)$(0,3) 的椭圆：$(0,3)$(0,3) 是长轴端点，$a=3$a=3，$c=2$c=2，$b^2=5$b2=5，方程是 $\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{5}=1$9y2​+5x2​=1。抛物线由准线或焦点定开口，再由 $\frac{p}{2}$2p​ 定 $p$p。

常见陷阱：焦点在 $y$y 轴上却写成 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$a2x2​+b2y2​=1；把抛物线的 $2p$2p 当成 $p$p，或把焦点写成 $(p,0)$(p,0)（第 26、28 节）。

题型 2：联立、判别式与弦长、中点

识别特征：直线与曲线相交于 $A$A、$B$B 两点，问交点个数、参数范围、弦长或中点。

分步解法：照步骤②到⑤写，再代弦长或中点公式。判别式那一行不能省：比如直线 $y=2x+1$y=2x+1 与抛物线 $y^2=3x$y2=3x，联立得 $4x^2+x+1=0$4x2+x+1=0，$\Delta=1-16\lt0$Δ=1−16<0，没有公共点，弦长、中点都无从谈起。

常见陷阱：只设 $y=kx+m$y=kx+m，漏了竖直线——过定点的直线问「有几条」「求方程」时，竖直线可能正好就是答案；二次项系数为 0 时只有一个公共点，却不是相切（第 28 节）。

题型 3：面积问题

识别特征：问 $\triangle OAB$△OAB（$O$O 为原点）一类三角形的面积，$A$A、$B$B 是直线与曲线的交点。

分步解法：面积 $=\frac{1}{2}\lvert AB\rvert\cdot d$=21​∣AB∣⋅d，$\lvert AB\rvert$∣AB∣ 用题型 2 的弦长，$d$d 是顶点到直线 $AB$AB 的距离 $\frac{\lvert Ax_0+By_0+C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$A2+B2​∣Ax0​+By0​+C∣​（第 24 节）。问面积的最大值时，把面积写成参数的函数，再用配方或第 9 节的基本不等式。

常见陷阱：直线方程没化成一般式就代距离公式；或者弦长、距离都对了，最后漏乘 $\frac{1}{2}$21​。

易错提醒

• ❌ 联立后直接写 $x_1+x_2$x1​+x2​、$x_1x_2$x1​x2​。✅ 先写 $\Delta\gt0$Δ>0（求参数时把它当条件列出来），再用韦达定理；没有两个交点，弦长、中点都不存在。

• ❌ 弦长写成 $\lvert x_1-x_2\rvert$∣x1​−x2​∣ 或 $(1+k^2)\lvert x_1-x_2\rvert$(1+k2)∣x1​−x2​∣。✅ 是 $\sqrt{1+k^2}\cdot\lvert x_1-x_2\rvert$1+k2​⋅∣x1​−x2​∣，其中 $\lvert x_1-x_2\rvert=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$∣x1​−x2​∣=(x1​+x2​)2−4x1​x2​​。

• ❌ 求出 $k$k 或 $m$m 就下结论。✅ 回代检查 $\Delta\gt0$Δ>0；斜率不存在的竖直线单独代入题目条件验一次。