对数与对数函数

本节导读

对数是指数的「逆运算」，所以学这一节之前要先把上一节的指数函数弄熟。在试卷里，对数的考法和指数很像：先是计算，把一串对数化简求值；再是对数函数的定义域、图像上的定点和单调性；最后是比较大小，经常把指数式、对数式混在一起比。

学完这一节，你应该能在指数式和对数式之间互相转换，熟练使用三条运算法则和换底公式，会求含对数的函数的定义域，会比较大小，并会解简单的对数方程和不等式。

对数的概念与运算

对数的概念

如果 $a^b = N$ab=N（$a \gt 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1），那么 $b$b 叫做以 $a$a 为底 $N$N 的对数，记作 $b = \log_a N$b=loga​N。$a$a 叫底数，$N$N 叫真数。也就是说，对数和指数是同一个关系的两种写法：

$$a^b = N \iff b = \log_a N$$ab=N⟺b=loga​N

例如 $2^3 = 8$23=8 就是 $\log_2 8 = 3$log2​8=3；$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 4$(21​)−2=4 就是 $\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$log21​​4=−2。底数是 10 的对数叫常用对数，记作 $\lg N$lgN；底数是无理数 $e$e（约 2.718）的对数叫自然对数，记作 $\ln N$lnN。

几个必须记住的结论：真数必须大于 0，零和负数没有对数；$\log_a 1 = 0$loga​1=0；$\log_a a = 1$loga​a=1；$a^{\log_a N} = N$aloga​N=N。

运算法则

设 $a \gt 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1，$M \gt 0$M>0，$N \gt 0$N>0，有三条法则：

法则	公式	口诀
积的对数	$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$loga​(MN)=loga​M+loga​N	积变和
商的对数	$\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$loga​NM​=loga​M−loga​N	商变差
幂的对数	$\log_a M^n = n \log_a M$loga​Mn=nloga​M	幂提前

还有换底公式，它能把任何底数的对数化成同一个底数：

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$loga​b=logc​alogc​b​

由它可以推出 $\log_a b \cdot \log_b a = 1$loga​b⋅logb​a=1。例如 $\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$log4​8=log2​4log2​8​=23​。

再看两个化简的例子：$\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{12}{3} = \log_2 4 = 2$log2​12−log2​3=log2​312​=log2​4=2；$\lg 25 + \lg 4 = \lg (25 \times 4) = \lg 100 = 2$lg25+lg4=lg(25×4)=lg100=2。化简的方向就是把几个对数合并成一个，或者把真数拆成容易算的因数。

对数函数

定义与性质

形如 $y = \log_a x$y=loga​x（$a \gt 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1）的函数叫对数函数。它与指数函数 $y = a^x$y=ax 互为反函数，所以两个图像关于直线 $y = x$y=x 对称。性质如下：

性质	$a \gt 1$a>1	$0 \lt a \lt 1$0<a<1
定义域	$(0, +\infty)$(0,+∞)	$(0, +\infty)$(0,+∞)
值域	$\mathbf{R}$R	$\mathbf{R}$R
定点	过点 $(1, 0)$(1,0)	过点 $(1, 0)$(1,0)
单调性	在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上是增函数	在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上是减函数
$x \gt 1$x>1 时	$y \gt 0$y>0	$y \lt 0$y<0
$0 \lt x \lt 1$0<x<1 时	$y \lt 0$y<0	$y \gt 0$y>0

常见应用

求定义域：真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1，再加上式子里其他部分的限制。例如 $y = \log_3 (2x - 4) + \sqrt{5 - x}$y=log3​(2x−4)+5−x​，要求 $2x - 4 \gt 0$2x−4>0 且 $5 - x \ge 0$5−x≥0，得 $2 \lt x \le 5$2<x≤5。

找定点：令真数等于 1。例如 $y = \log_a (x - 1) + 2$y=loga​(x−1)+2，令 $x - 1 = 1$x−1=1 得 $x = 2$x=2，此时 $y = 0 + 2 = 2$y=0+2=2，恒过点 $(2, 2)$(2,2)。

比较大小：同底数的两个对数，由单调性比较真数；不同底数时，借助 0 和 1 做中间量。例如 $\log_2 3 \gt \log_2 2 = 1$log2​3>log2​2=1，$\log_{\frac{1}{2}} 3 \lt 0$log21​​3<0，所以 $\log_2 3 \gt \log_{\frac{1}{2}} 3$log2​3>log21​​3。

解对数方程和不等式：先化成同底，再用单调性，最后一定要检查真数大于 0。例如 $\log_2 (x + 1) = 3$log2​(x+1)=3 得 $x + 1 = 8$x+1=8，$x = 7$x=7；$\log_2 (x - 1) \lt 3$log2​(x−1)<3，等价于 $0 \lt x - 1 \lt 8$0<x−1<8，解得 $1 \lt x \lt 9$1<x<9。如果底数在 0 和 1 之间，转化时不等号要反向，并且别忘了真数的范围。

易错提醒

• ❌ $\log_a (M + N) = \log_a M + \log_a N$loga​(M+N)=loga​M+loga​N。
  ✅ 对数只有积变和、商变差，没有「和的对数」的公式。
  例如 $\lg (2 + 8) = 1$lg(2+8)=1，而 $\lg 2 + \lg 8 = \lg 16 \ne 1$lg2+lg8=lg16=1。

• ❌ $\lg 2 + \lg 5 = \lg 7$lg2+lg5=lg7。
  ✅ $\lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1$lg2+lg5=lg10=1。
  对数相加，真数要相乘。

• ❌ 解 $\log_2 (x - 1) \lt 3$log2​(x−1)<3，只得到 $x \lt 9$x<9。
  ✅ 还要真数大于 0，$x - 1 \gt 0$x−1>0，所以 $1 \lt x \lt 9$1<x<9。
  解对数不等式时，真数的范围是第一步。

• ❌ $(\log_2 x)^3 = 3 \log_2 x$(log2​x)3=3log2​x。
  ✅ 幂提前的是真数的指数，$\log_2 x^3 = 3 \log_2 x$log2​x3=3log2​x。
  对数整体的乘方没有这条法则。

• ❌ 解出 $x = -2$x=−2 就当成对数方程的解。
  ✅ 把根代回原方程，使真数为负的要舍去。
  对数方程一定要检验。

例题精讲

例题 1

计算 $\log_2 12 - \log_2 3 + \lg 25 + \lg 4$log2​12−log2​3+lg25+lg4 的值是

A. $2$2　　B. $3$3　　C. $4$4　　D. $5$5

答案：C

解析：前两项合并，$\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 4 = 2$log2​12−log2​3=log2​4=2；后两项合并，$\lg 25 + \lg 4 = \lg 100 = 2$lg25+lg4=lg100=2。所以原式 $= 2 + 2 = 4$=2+2=4。

例题 2

函数 $y = \log_3 (2x - 4) + \sqrt{5 - x}$y=log3​(2x−4)+5−x​ 的定义域是

A. $(2, 5)$(2,5)　　B. $[2, 5]$[2,5]　　C. $(2, 5]$(2,5]　　D. $(-\infty, 5]$(−∞,5]

答案：C

解析：对数的真数要大于 0，$2x - 4 \gt 0$2x−4>0，得 $x \gt 2$x>2；根式要求 $5 - x \ge 0$5−x≥0，得 $x \le 5$x≤5。取交集，定义域是 $(2, 5]$(2,5]。A 把 5 去掉了，B 把 2 包含进去了，D 只考虑了根式。

例题 3

设 $a = \log_2 3$a=log2​3，$b = \log_3 2$b=log3​2，$c = \log_{\frac{1}{2}} 3$c=log21​​3，则 $a$a、$b$b、$c$c 的大小关系是

A. $a \gt b \gt c$a>b>c　　B. $b \gt a \gt c$b>a>c　　C. $a \gt c \gt b$a>c>b　　D. $c \gt a \gt b$c>a>b

答案：A

解析：$\log_2 3$log2​3 的真数 3 大于底数 2，所以 $a \gt 1$a>1。$b = \log_3 2$b=log3​2 的真数小于底数且大于 1，所以 $0 \lt b \lt 1$0<b<1。$c = \log_{\frac{1}{2}} 3$c=log21​​3 底数小于 1、真数大于 1，所以 $c \lt 0$c<0。于是 $a \gt b \gt c$a>b>c。

本节小结

• $a^b = N$ab=N 与 $b = \log_a N$b=loga​N 是同一个关系；真数必须大于 0，$\log_a 1 = 0$loga​1=0，$\log_a a = 1$loga​a=1。
• 三条法则：积变和、商变差、幂提前；换底公式 $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$loga​b=logc​alogc​b​。
• 对数函数 $y = \log_a x$y=loga​x：定义域 $(0, +\infty)$(0,+∞)，值域 $\mathbf{R}$R，过点 $(1, 0)$(1,0)；$a \gt 1$a>1 递增，$0 \lt a \lt 1$0<a<1 递减。
• 求定义域看真数大于 0；找定点令真数等于 1；比较大小用单调性或借助 0 和 1。
• 解对数方程和不等式，要化同底，并且检验真数大于 0。