函数的单调性与奇偶性

本节导读

单调性和奇偶性是函数最重要的两个性质。试卷里它们的考法很固定：选择题让你判断一个函数的奇偶性，或者在几个函数里找出既是奇（偶）函数又在某个区间上递增的；填空题给你一个奇函数或偶函数，让你求某个函数值或某个参数；解答题里则常常把它们当作铺垫，比如先判断单调性，再解不等式。

学完这一节，你应该能用定义判断函数的单调性，说出常见函数的单调区间，能按步骤判断奇偶性，并会用奇偶性求函数值、求解析式和求参数。

函数的单调性

增函数与减函数

设函数 $f(x)$f(x) 的定义域为 $I$I，区间 $D \subseteq I$D⊆I。如果对 $D$D 内任意两个自变量 $x_1 \lt x_2$x1​<x2​，都有 $f(x_1) \lt f(x_2)$f(x1​)<f(x2​)，就说 $f(x)$f(x) 在 $D$D 上是增函数；如果都有 $f(x_1) \gt f(x_2)$f(x1​)>f(x2​)，就说 $f(x)$f(x) 在 $D$D 上是减函数。通俗地讲，增函数是自变量变大函数值也变大，图像从左向右上升；减函数相反，图像从左向右下降。

如果函数在区间 $D$D 上是增（减）函数，区间 $D$D 就叫做函数的单调增（减）区间。注意：说单调性一定要说清是哪个区间。

用定义证明单调性

证明 $f(x)$f(x) 在区间 $D$D 上是增函数或减函数，一般按下面五步走：

1. 取值：在 $D$D 内任取 $x_1 \lt x_2$x1​<x2​。
2. 作差：计算 $f(x_1) - f(x_2)$f(x1​)−f(x2​)。
3. 变形：通常是因式分解或通分，化成几个因式的乘积。
4. 定号：判断差的正负。
5. 结论：差为负是增函数，差为正是减函数。

例如证明 $f(x) = \dfrac{1}{x}$f(x)=x1​ 在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上是减函数。任取 $0 \lt x_1 \lt x_2$0<x1​<x2​，则

$$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$$f(x1​)−f(x2​)=x1​1​−x2​1​=x1​x2​x2​−x1​​

因为 $x_2 - x_1 \gt 0$x2​−x1​>0，$x_1 x_2 \gt 0$x1​x2​>0，所以 $f(x_1) - f(x_2) \gt 0$f(x1​)−f(x2​)>0，即 $f(x_1) \gt f(x_2)$f(x1​)>f(x2​)，函数在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上是减函数。

常见函数的单调性

下表是最常考的几类函数，对二次函数 $y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c，对称轴是 $x = -\dfrac{b}{2a}$x=−2ab​：

函数	单调增区间	单调减区间
$y = kx + b$y=kx+b（$k \gt 0$k>0）	$(-\infty, +\infty)$(−∞,+∞)	无
$y = kx + b$y=kx+b（$k \lt 0$k<0）	无	$(-\infty, +\infty)$(−∞,+∞)
$y = \dfrac{k}{x}$y=xk​（$k \gt 0$k>0）	无	$(-\infty, 0)$(−∞,0) 和 $(0, +\infty)$(0,+∞)
$y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c（$a \gt 0$a>0）	$\left[-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)$[−2ab​,+∞)	$\left(-\infty, -\dfrac{b}{2a}\right]$(−∞,−2ab​]
$y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c（$a \lt 0$a<0）	$\left(-\infty, -\dfrac{b}{2a}\right]$(−∞,−2ab​]	$\left[-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)$[−2ab​,+∞)

单调性的应用

单调性可以用来比较大小：在增函数上，自变量大的函数值大；在减函数上正好相反。也可以用来解不等式：若 $f(x)$f(x) 是增函数，则 $f(a) \lt f(b)$f(a)<f(b) 等价于 $a \lt b$a<b，减函数则不等号反向。还可以求参数范围：例如 $f(x) = x^2 - 2ax + 3$f(x)=x2−2ax+3 的图像开口向上、对称轴是 $x = a$x=a，它在 $[a, +\infty)$[a,+∞) 上递增，所以若要它在 $[1, +\infty)$[1,+∞) 上递增，必须 $a \le 1$a≤1。

函数的奇偶性

定义

先看定义域：奇偶性有一个前提，函数的定义域必须关于原点对称（如果 $x$x 在定义域里，那么 $-x$−x 也在）。在这个前提下：

类型	条件	图像特征
偶函数	对定义域内任意 $x$x，$f(-x) = f(x)$f(−x)=f(x)	关于 $y$y 轴对称
奇函数	对定义域内任意 $x$x，$f(-x) = -f(x)$f(−x)=−f(x)	关于原点对称

奇函数如果在 $x = 0$x=0 处有定义，则一定有 $f(0) = 0$f(0)=0。既不是奇函数也不是偶函数的，叫非奇非偶函数。

判断步骤

第一步，求定义域，看是否关于原点对称，不对称的直接判为非奇非偶；第二步，计算 $f(-x)$f(−x)；第三步，把 $f(-x)$f(−x) 与 $f(x)$f(x) 和 $-f(x)$−f(x) 比较，等于前者是偶函数，等于后者是奇函数，都不等是非奇非偶。

下面是几个常见函数的奇偶性，可以当作速查表：

偶函数	奇函数	非奇非偶函数
$y = x^2$y=x2，$y = x^4$y=x4	$y = x$y=x，$y = x^3$y=x3	$y = x + 1$y=x+1
$y = \lvert x \rvert$y=∣x∣	$y = \dfrac{1}{x}$y=x1​	$y = x^2 + x$y=x2+x
$y = x^2 + 1$y=x2+1（常数项不影响）	$y = x^3 + x$y=x3+x	$y = x^3 + 1$y=x3+1

奇偶性的应用

求值：$f(x)$f(x) 是奇函数，$f(2) = 3$f(2)=3，则 $f(-2) = -3$f(−2)=−3；是偶函数，则 $f(-2) = 3$f(−2)=3。求解析式：设 $f(x)$f(x) 是奇函数，当 $x \gt 0$x>0 时 $f(x) = x^2 + x$f(x)=x2+x，求 $x \lt 0$x<0 时的式子。取 $x \lt 0$x<0，则 $-x \gt 0$−x>0，所以 $f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$f(−x)=(−x)2+(−x)=x2−x，再由奇函数 $f(x) = -f(-x) = -x^2 + x$f(x)=−f(−x)=−x2+x。

求参数：$f(x) = x^2 + (a - 1)x + 3$f(x)=x2+(a−1)x+3 是偶函数，偶函数的图像关于 $y$y 轴对称，说明一次项系数为 0，即 $a - 1 = 0$a−1=0，$a = 1$a=1。

两个性质联系起来：偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同。

易错提醒

• ❌ 判断 $f(x) = x^2$f(x)=x2，$x \in [-1, 2]$x∈[−1,2] 是偶函数。
  ✅ 定义域 $[-1, 2]$[−1,2] 不关于原点对称，是非奇非偶函数。
  判断奇偶性，永远先看定义域。

• ❌ $y = \dfrac{1}{x}$y=x1​ 在 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$(−∞,0)∪(0,+∞) 上是减函数。
  ✅ 它在 $(-\infty, 0)$(−∞,0) 和 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上各自是减函数。
  取 $x_1 = -1$x1​=−1，$x_2 = 1$x2​=1，$f(x_1) = -1 \lt 1 = f(x_2)$f(x1​)=−1<1=f(x2​)，并不满足减函数的定义。

• ❌ 把 $f(x) = \dfrac{x^2 - x}{x - 1}$f(x)=x−1x2−x​ 化简成 $x$x 就判为奇函数。
  ✅ 原函数的定义域是 $x \ne 1$x=1，不关于原点对称，是非奇非偶函数。
  化简会改变定义域。

• ❌ 单调区间之间用「$\cup$∪」连接，写成 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$(−∞,0)∪(0,+∞) 是减区间。
  ✅ 多个单调区间用逗号或「和」隔开。
  并集会让人以为函数在整个并集上是单调的。

• ❌ 奇函数的图像一定经过原点。
  ✅ 只有在 $x = 0$x=0 处有定义才行，$y = \dfrac{1}{x}$y=x1​ 是奇函数，却不过原点。
  用 $f(0) = 0$f(0)=0 之前，先确认 0 在定义域里。

例题精讲

例题 1

下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上单调递增的是

A. $y = x^3$y=x3　　B. $y = \lvert x \rvert$y=∣x∣　　C. $y = -x^2$y=−x2　　D. $y = \dfrac{1}{x}$y=x1​

答案：B

解析：先筛奇偶性。A、D 是奇函数，不符合；B、C 是偶函数。再看 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上的单调性：$y = \lvert x \rvert$y=∣x∣ 在 $x \gt 0$x>0 时就是 $y = x$y=x，递增；$y = -x^2$y=−x2 在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上递减。所以选 B。

例题 2

函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3$f(x)=x2−2ax+3 在区间 $[1, +\infty)$[1,+∞) 上单调递增，则实数 $a$a 的取值范围是

A. $a \ge 1$a≥1　　B. $a \le 1$a≤1　　C. $a \le -1$a≤−1　　D. $a \ge -1$a≥−1

答案：B

解析：图像开口向上，对称轴是 $x = a$x=a，在 $[a, +\infty)$[a,+∞) 上递增。要使 $[1, +\infty)$[1,+∞) 落在递增区间内，对称轴必须在 1 的左边或者恰好是 1，即 $a \le 1$a≤1。A 的方向反了，C、D 是把对称轴的符号弄错了。

例题 3

已知 $f(x)$f(x) 是奇函数，当 $x \gt 0$x>0 时 $f(x) = x^2 + x$f(x)=x2+x，则 $f(-2)$f(−2) 等于

A. $6$6　　B. $-6$−6　　C. $2$2　　D. $-2$−2

答案：B

解析：$-2$−2 不在 $x \gt 0$x>0 的范围，但奇函数有 $f(-2) = -f(2)$f(−2)=−f(2)。而 $f(2) = 2^2 + 2 = 6$f(2)=22+2=6，所以 $f(-2) = -6$f(−2)=−6。A 忘了奇函数要变号。

本节小结

• 单调性：区间上自变量增大函数值增大是增函数，反之是减函数；说单调性必须指明区间，多个单调区间用逗号隔开。
• 定义法证明单调性五步：取值、作差、变形、定号、结论。
• 二次函数的单调性由开口方向和对称轴 $x = -\dfrac{b}{2a}$x=−2ab​ 决定；$y = \dfrac{k}{x}$y=xk​ 的单调区间要分成两段。
• 奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再比较 $f(-x)$f(−x) 与 $f(x)$f(x)；偶函数图像关于 $y$y 轴对称，奇函数图像关于原点对称。
• 用奇偶性可以求函数值、求另一半的解析式和求参数。