导数的概念与求导运算

本节导读

导数是研究函数变化快慢的工具，是代数部分里最后一个板块，也是高中数学与初等数学的分水岭。这一节只做两件事：弄懂导数是什么，学会求导。试卷里，导数的小题常见考法有三类：直接求某个函数的导数或某点的导数值；求曲线在某点处切线的斜率；给出切线斜率或速度，反过来求点的位置。求导的计算是后面一切应用的基础，必须练到不出错。

学完这一节，你应该能说出导数的定义和几何意义，熟记常见函数的求导公式，会用和、差、积、商的求导法则求导，并会计算导数值。

导数的概念

平均变化率与瞬时变化率

函数 $y = f(x)$y=f(x) 在区间 $[x_1, x_2]$[x1​,x2​] 上的平均变化率是

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$ΔxΔy​=x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​

它反映函数在这段区间上变化的平均快慢。例如质点的位移 $s = t^2$s=t2（米），在 $t$t 从 1 秒到 3 秒这段时间内的平均速度是 $\dfrac{9 - 1}{3 - 1} = 4$3−19−1​=4 米/秒。

如果让区间越来越小，平均变化率趋近的那个值，就是函数在这一点的瞬时变化率。例如 $t = 1$t=1 秒附近，取时间增量 $\Delta t$Δt，平均速度是 $\dfrac{(1 + \Delta t)^2 - 1}{\Delta t} = 2 + \Delta t$Δt(1+Δt)2−1​=2+Δt，当 $\Delta t$Δt 趋近于 0 时，它趋近于 2，所以 $t = 1$t=1 秒时的瞬时速度是 2 米/秒。

导数的定义

函数 $y = f(x)$y=f(x) 在点 $x_0$x0​ 处的导数，记作 $f'(x_0)$f′(x0​)，定义为

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$f′(x0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​

意思是：当自变量的增量 $\Delta x$Δx 趋近于 0 时，平均变化率趋近的那个确定的值。如果在区间内每一点都有导数，就得到一个新函数 $f'(x)$f′(x)，叫做 $f(x)$f(x) 的导函数，简称导数。

按定义求导数分三步：一差，求函数值的增量 $\Delta y$Δy；二比，求 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ΔxΔy​；三极限，令 $\Delta x \to 0$Δx→0。例如 $f(x) = x^2$f(x)=x2 在 $x_0 = 3$x0​=3 处：$\Delta y = (3 + \Delta x)^2 - 9 = 6\Delta x + (\Delta x)^2$Δy=(3+Δx)2−9=6Δx+(Δx)2，$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = 6 + \Delta x \to 6$ΔxΔy​=6+Δx→6，所以 $f'(3) = 6$f′(3)=6。

几何意义

导数 $f'(x_0)$f′(x0​) 的几何意义是：曲线 $y = f(x)$y=f(x) 在点 $P(x_0, f(x_0))$P(x0​,f(x0​)) 处切线的斜率。物理意义是：位移对时间的导数是瞬时速度。$f'(x_0) \gt 0$f′(x0​)>0 说明曲线在该点附近上升，$f'(x_0) \lt 0$f′(x0​)<0 说明下降。

基本初等函数的导数

不需要每次都用定义求导，下面的公式表要熟记：

函数	导数
$y = C$y=C（常数）	$y' = 0$y′=0
$y = x^{\alpha}$y=xα（$\alpha$α 为常数）	$y' = \alpha x^{\alpha - 1}$y′=αxα−1
$y = \sin x$y=sinx	$y' = \cos x$y′=cosx
$y = \cos x$y=cosx	$y' = -\sin x$y′=−sinx
$y = \mathrm{e}^x$y=ex	$y' = \mathrm{e}^x$y′=ex
$y = a^x$y=ax（$a \gt 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1）	$y' = a^x \ln a$y′=axlna
$y = \ln x$y=lnx	$y' = \dfrac{1}{x}$y′=x1​
$y = \log_a x$y=loga​x	$y' = \dfrac{1}{x \ln a}$y′=xlna1​

用幂函数的公式，可以求出很多常见的导数：$(x^2)' = 2x$(x2)′=2x，$(x^3)' = 3x^2$(x3)′=3x2；$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$x​=x21​，所以 $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$(x​)′=21​x−21​=2x​1​；$\dfrac{1}{x} = x^{-1}$x1​=x−1，所以 $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$(x1​)′=−x−2=−x21​。

导数的运算法则

设 $u$u、$v$v 都是 $x$x 的可导函数，$C$C 是常数，则有四条法则：

法则	公式
和差	$(u \pm v)' = u' \pm v'$(u±v)′=u′±v′
常数倍	$(Cu)' = Cu'$(Cu)′=Cu′
积	$(uv)' = u'v + uv'$(uv)′=u′v+uv′
商	$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$(vu​)′=v2u′v−uv′​（$v \ne 0$v=0）