角的推广、弧度制与任意角的三角函数

本节导读

从这一节开始进入三角部分。三角函数这一章的概念多、公式多，但考法相对固定，是性价比很高的一章。这一节讲三件事：把角的范围从 0° 到 360° 推广到任意大小，引进弧度制，再定义任意角的正弦、余弦、正切。试卷里，这一节的内容会以选择题和填空题出现：判断某个角在第几象限，写出终边相同的角，角度与弧度互化，已知终边上一点求三角函数值，判断三角函数值的符号，以及计算特殊角的三角函数值。

学完这一节，你应该能判断象限角，会写与已知角终边相同的角，熟练地进行角度和弧度的互化，会用定义求三角函数值并判断符号，并记住特殊角的三角函数值。

任意角

角的推广

在平面直角坐标系中，让角的顶点在原点，始边与 $x$x 轴的非负半轴重合。一条射线绕顶点按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角，没有旋转叫零角。这样，角的大小不再局限于 0° 到 360°，可以是任意大小，比如 $390°$390°、$-60°$−60°、$1000°$1000°。

角的终边落在哪个象限，就叫第几象限角。终边落在坐标轴上的角，叫轴线角，它不属于任何一个象限。在 0° 到 360° 内，四个象限角的范围是：

象限	角的范围
第一象限	$0° \lt \alpha \lt 90°$0°<α<90°
第二象限	$90° \lt \alpha \lt 180°$90°<α<180°
第三象限	$180° \lt \alpha \lt 270°$180°<α<270°
第四象限	$270° \lt \alpha \lt 360°$270°<α<360°

终边相同的角

所有与角 $\alpha$α 终边相同的角（包括 $\alpha$α 本身），可以写成

$$\beta = \alpha + k \cdot 360° \quad (k \in \mathbf{Z})$$β=α+k⋅360°(k∈Z)

判断一个大角在第几象限，就是加上或者减去若干个 360°，把它化到 0° 到 360° 之间再判断。例如 $390° = 30° + 360°$390°=30°+360°，与 30° 终边相同，是第一象限角；$-60° + 360° = 300°$−60°+360°=300°，是第四象限角；$-1110° + 4 \times 360° = 330°$−1110°+4×360°=330°，是第四象限角。

弧度制

弧度的定义

长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1 rad。一般地，弧长为 $l$l、半径为 $r$r 的圆弧所对圆心角 $\alpha$α 的弧度数是 $\lvert \alpha \rvert = \dfrac{l}{r}$∣α∣=rl​。一周是 $360°$360°，对应的弧长是 $2\pi r$2πr，所以一周的弧度数是 $2\pi$2π。由此得到最基本的换算关系：

$$180° = \pi \text{ rad}, \quad 1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad}, \quad 1 \text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)° \approx 57.3°$$180°=π rad,1°=180π​ rad,1 rad=(π180​)°≈57.3°

换算的方法：角度化弧度，乘 $\dfrac{\pi}{180}$180π​；弧度化角度，乘 $\dfrac{180}{\pi}$π180​。例如 $75° = 75 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{12}$75°=75×180π​=125π​，$\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{5}{6} \times 180° = 150°$65π​=65​×180°=150°。用弧度表示角时，单位 rad 通常省略不写。下面是最常用的对应关系，要熟记：

角度	$30°$30°	$45°$45°	$60°$60°	$90°$90°	$120°$120°	$135°$135°	$150°$150°	$180°$180°	$270°$270°	$360°$360°
弧度	$\dfrac{\pi}{6}$6π​	$\dfrac{\pi}{4}$4π​	$\dfrac{\pi}{3}$3π​	$\dfrac{\pi}{2}$2π​	$\dfrac{2\pi}{3}$32π​	$\dfrac{3\pi}{4}$43π​	$\dfrac{5\pi}{6}$65π​	$\pi$π	$\dfrac{3\pi}{2}$23π​	$2\pi$2π

弧长与扇形面积

用弧度制，弧长公式和扇形面积公式都很简洁：

$$l = \lvert \alpha \rvert r, \qquad S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} \lvert \alpha \rvert r^2$$l=∣α∣r,S=21​lr=21​∣α∣r2

注意公式里的 $\alpha$α 必须用弧度。例如半径为 6、圆心角为 $\dfrac{\pi}{3}$3π​ 的扇形，弧长 $l = \dfrac{\pi}{3} \times 6 = 2\pi$l=3π​×6=2π，面积 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\pi \times 6 = 6\pi$S=21​×2π×6=6π。

任意角的三角函数

定义

在角 $\alpha$α 的终边上任取一点 $P(x, y)$P(x,y)（不与原点重合），它到原点的距离 $r = \sqrt{x^2 + y^2} \gt 0$r=x2+y2​>0，则

$$\sin\alpha = \frac{y}{r}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \qquad \tan\alpha = \frac{y}{x} \ (x \ne 0)$$sinα=ry​,cosα=rx​,tanα=xy​ (x=0)

这三个比值只与角 $\alpha$α 有关，与点 $P$P 在终边上的位置无关。例如终边过点 $P(-3, 4)$P(−3,4)，$r = \sqrt{9 + 16} = 5$r=9+16​=5，则 $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$sinα=54​，$\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$cosα=−53​，$\tan\alpha = -\dfrac{4}{3}$tanα=−34​。