等比数列

本节导读

等比数列和等差数列是一对孪生兄弟：等差数列是「相邻项做减法得常数」，等比数列是「相邻项做除法得常数」。它们的公式、性质一一对应，学这一节时可以和上一节对照着记。试卷中，等比数列的考法同样是求某一项、求公比、求前 $n$n 项和，以及用等比中项和下标和的性质简化计算，也常和等差数列放在同一道解答题里。

学完这一节，你应该能判断一个数列是不是等比数列，会用通项公式和前 $n$n 项和公式求各个量，会用等比中项和性质简化运算，并牢记求和公式要对公比是否为 1 做分类讨论。

等比数列的定义与通项公式

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫公比，记作 $q$q：

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (q \ne 0)$$an​an+1​​=q(q=0)

等比数列的各项都不为 0，公比 $q$q 也不为 0。公比是「后项除以前项」。通项公式是

$$a_n = a_1 q^{n-1}$$an​=a1​qn−1

推广形式是 $a_n = a_m q^{n-m}$an​=am​qn−m。例如 $2, 6, 18, \cdots$2,6,18,⋯ 中，$q = \dfrac{6}{2} = 3$q=26​=3，$a_n = 2 \times 3^{n-1}$an​=2×3n−1，$a_5 = 2 \times 3^4 = 162$a5​=2×34=162。又如 $1, -2, 4, -8, \cdots$1,−2,4,−8,⋯ 的公比是 $-2$−2，各项正负交替。

公比决定数列的变化趋势：首项为正时，$q \gt 1$q>1 递增，$0 \lt q \lt 1$0<q<1 递减，$q \lt 0$q<0 时各项符号交替（摆动），$q = 1$q=1 是常数列。

等比中项与性质

如果 $a$a、$G$G、$b$b 成等比数列，那么 $G$G 叫 $a$a 与 $b$b 的等比中项，满足

$$G^2 = ab, \quad \text{即 } G = \pm\sqrt{ab}$$G2=ab,即 G=±ab​

注意只有 $a$a、$b$b 同号时等比中项才存在，并且有两个，互为相反数。等比数列中，除首末项以外的每一项都是它前后两项的等比中项：$a_n^2 = a_{n-1} a_{n+1}$an2​=an−1​an+1​。

性质	内容
项比公式	$\dfrac{a_n}{a_m} = q^{n-m}$am​an​​=qn−m
下标和	若 $m + n = p + q$m+n=p+q，则 $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$am​⋅an​=ap​⋅aq​
首末对称	$a_1 a_n = a_2 a_{n-1} = a_3 a_{n-2} = \cdots$a1​an​=a2​an−1​=a3​an−2​=⋯
等间隔取项	每隔相同项数取出的项，仍成等比数列

例如各项为正的等比数列中，$a_3 a_7 = 36$a3​a7​=36，因为 $3 + 7 = 5 + 5$3+7=5+5，所以 $a_5^2 = 36$a52​=36，$a_5 = 6$a5​=6（各项为正，舍去 $-6$−6）。

前 $n$n 项和公式

等比数列的前 $n$n 项和要分两种情形：

$$S_n = \begin{cases} na_1, & q = 1 \\[2mm] \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \dfrac{a_1 - a_n q}{1 - q}, & q \ne 1 \end{cases}$$Sn​=⎩⎨⎧​na1​,1−qa1​(1−qn)​=1−qa1​−an​q​,​q=1q=1​

$q = 1$q=1 时，每一项都等于 $a_1$a1​，和就是 $na_1$na1​；这时公式的分母是 0，不能用，这是最容易漏掉的一种情形。$q \ne 1$q=1 时，第一个写法适合已知 $a_1$a1​ 和 $q$q，第二个适合已知首项、末项和公比。

例如 $1, 2, 4, 8, \cdots$1,2,4,8,⋯ 的前 8 项和 $S_8 = \dfrac{1 \times (1 - 2^8)}{1 - 2} = 255$S8​=1−21×(1−28)​=255。又如 $a_1 = 1$a1​=1，$q = \dfrac{1}{2}$q=21​，前 5 项和 $S_5 = \dfrac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{31}{16}$S5​=1−21​1−(21​)5​=1631​。公比小于 1 时用 $\dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$1−qa1​(1−qn)​，公比大于 1 时用 $\dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$q−1a1​(qn−1)​，两种写法只是分子分母同乘 $-1$−1，结果相同。