导数的应用：切线、单调性与极值最值

本节导读

上一节学会了求导，这一节用导数来解决问题。导数的应用是解答题的常客，考法很集中：求曲线在某点处的切线方程；求函数的单调区间；求函数的极值；求闭区间上的最大值和最小值。这些题的函数多半是三次多项式，或者含有 $\ln x$lnx、$\mathrm{e}^x$ex 的简单式子，求导之后得到一个一次或二次的式子，再借助上一章的不等式知识就能解决。

学完这一节，你应该能写出切线方程，会按步骤求单调区间，会列表求极值，会比较端点和极值点求闭区间上的最值，并会解一道简单的实际最值问题。

曲线的切线

曲线 $y = f(x)$y=f(x) 在点 $P(x_0, y_0)$P(x0​,y0​) 处的切线，斜率就是 $k = f'(x_0)$k=f′(x0​)，所以切线方程是点斜式

$$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$y−y0​=f′(x0​)(x−x0​)

求切线方程的步骤：一求导，得 $f'(x)$f′(x)；二求斜率，$k = f'(x_0)$k=f′(x0​)；三代入点斜式，整理成需要的形式。

例如，求曲线 $y = x^3 - 2x + 1$y=x3−2x+1 在点 $(1, 0)$(1,0) 处的切线方程。$y' = 3x^2 - 2$y′=3x2−2，$k = 3 - 2 = 1$k=3−2=1，切线方程 $y - 0 = 1 \cdot (x - 1)$y−0=1⋅(x−1)，即 $y = x - 1$y=x−1。

又如，曲线 $y = x^2$y=x2 的某条切线平行于直线 $y = 4x - 1$y=4x−1，求这条切线。平行说明斜率相等，$y' = 2x = 4$y′=2x=4，所以切点横坐标 $x = 2$x=2，纵坐标 $y = 4$y=4，切线方程是 $y - 4 = 4(x - 2)$y−4=4(x−2)，即 $y = 4x - 4$y=4x−4。

要注意区分两种说法：「在点 $P$P 处的切线」，$P$P 就是切点；「过点 $P$P 的切线」，$P$P 不一定是切点，要先设出切点再求。

函数的单调性与导数

在某个区间内，如果 $f'(x) \gt 0$f′(x)>0，那么 $f(x)$f(x) 在这个区间上单调递增；如果 $f'(x) \lt 0$f′(x)<0，那么 $f(x)$f(x) 在这个区间上单调递减。这样，判断单调性就变成了判断导数的正负，也就是解一个不等式。

求单调区间的步骤：一，写出定义域；二，求 $f'(x)$f′(x)；三，解 $f'(x) \gt 0$f′(x)>0 得增区间，解 $f'(x) \lt 0$f′(x)<0 得减区间；四，写出区间，多个区间之间用逗号或「和」隔开。

例如 $f(x) = x^3 - 3x$f(x)=x3−3x，$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)。$f'(x) \gt 0$f′(x)>0 的解是 $x \lt -1$x<−1 或 $x \gt 1$x>1，$f'(x) \lt 0$f′(x)<0 的解是 $-1 \lt x \lt 1$−1<x<1。所以增区间是 $(-\infty, -1)$(−∞,−1) 和 $(1, +\infty)$(1,+∞)，减区间是 $(-1, 1)$(−1,1)。

再如 $f(x) = x - \ln x$f(x)=x−lnx，先看定义域 $x \gt 0$x>0。$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$f′(x)=1−x1​=xx−1​，$x \gt 0$x>0 时分母为正，所以 $f'(x) \gt 0$f′(x)>0 等价于 $x \gt 1$x>1，$f'(x) \lt 0$f′(x)<0 等价于 $0 \lt x \lt 1$0<x<1。增区间 $(1, +\infty)$(1,+∞)，减区间 $(0, 1)$(0,1)。

函数的极值

如果函数在 $x_0$x0​ 附近，$f'(x)$f′(x) 在 $x_0$x0​ 的左边为正、右边为负，那么 $f(x_0)$f(x0​) 是极大值；左边为负、右边为正，$f(x_0)$f(x0​) 是极小值。极大值、极小值统称极值，$x_0$x0​ 叫极值点。

要特别注意：$f'(x_0) = 0$f′(x0​)=0 只是极值点的必要条件，不是充分条件。例如 $y = x^3$y=x3 在 $x = 0$x=0 处导数为 0，但两侧导数都是正，没有极值。

求极值的步骤：一，求定义域；二，求 $f'(x)$f′(x)；三，解 $f'(x) = 0$f′(x)=0 的根；四，列表，看每个根左右 $f'(x)$f′(x) 的符号；五，写出极大值和极小值。以 $f(x) = x^3 - 3x$f(x)=x3−3x 为例：

$x$x	$(-\infty, -1)$(−∞,−1)	$-1$−1	$(-1, 1)$(−1,1)	$1$1	$(1, +\infty)$(1,+∞)
$f'(x)$f′(x)	$+$+	$0$0	$-$−	$0$0	$+$+
$f(x)$f(x)	递增	极大值 $2$2	递减	极小值 $-2$−2	递增

极大值 $f(-1) = -1 + 3 = 2$f(−1)=−1+3=2，极小值 $f(1) = 1 - 3 = -2$f(1)=1−3=−2。极值是局部的概念，极大值不一定比极小值大。

函数的最值

在闭区间 $[a, b]$[a,b] 上连续的函数，一定有最大值和最小值，它们只会出现在两个地方：区间内的极值点，或者区间的端点。所以求最值的步骤是：一，求 $f'(x)$f′(x)，找出区间 $(a, b)$(a,b) 内使 $f'(x) = 0$f′(x)=0 的点；二，算出这些点和两个端点的函数值；三，比较大小，最大的是最大值，最小的是最小值。