集合的概念与运算

本节导读

集合是整个高中数学的语言：后面的函数定义域、不等式的解集、数列的项，都要用集合来描述。在试卷里，集合一般是选择题靠前的位置，考两个集合的交集、并集、补集，或者判断两个集合的关系，难度很低，是必须拿满的送分题。

学完这一节，你应该能读懂集合的符号，会判断元素与集合、集合与集合的关系，会求交集、并集和补集，会用区间写不等式的解集，并会借助数轴处理连续的集合。

集合的概念与表示

集合与元素

把一些确定的对象放在一起看成一个整体，这个整体就叫集合，其中每个对象叫元素。元素 $a$a 在集合 $A$A 里，记作 $a \in A$a∈A；不在，记作 $a \notin A$a∈/A。集合的元素有三个特征：

• 确定性：给定一个对象，它在不在集合里必须是明确的。「很大的数」不能组成集合。
• 互异性：集合里的元素各不相同，同一个元素只写一次。
• 无序性：元素的排列顺序不影响集合，$\{1, 2\}${1,2} 和 $\{2, 1\}${2,1} 是同一个集合。

常用的数集有固定的记号，要记熟：

符号	含义
$\mathbf{N}$N	自然数集（包括 0）
$\mathbf{N}^*$N∗	正整数集
$\mathbf{Z}$Z	整数集
$\mathbf{Q}$Q	有理数集
$\mathbf{R}$R	实数集

集合的表示方法

列举法：把元素一一写在大括号里，如 $\{1, 2, 3\}${1,2,3}。描述法：写出元素满足的条件，如 $\{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}${x∣x2−3x+2=0}，竖线前面是代表元素，后面是它要满足的条件。上面这个集合解方程可得 $\{1, 2\}${1,2}。

不含任何元素的集合叫空集，记作 $\varnothing$∅。例如 $\{x \in \mathbf{R} \mid x^2 + 1 = 0\}${x∈R∣x2+1=0} 就是空集，因为实数的平方加 1 不可能等于 0。注意 $\varnothing$∅、$\{0\}${0}、$\{\varnothing\}${∅} 是三个不同的集合：前者没有元素，后两者各有一个元素。

集合之间的关系

如果集合 $A$A 的每个元素都在集合 $B$B 里，就说 $A$A 是 $B$B 的子集，记作 $A \subseteq B$A⊆B。如果 $A \subseteq B$A⊆B 并且 $B$B 里至少有一个元素不在 $A$A 里，就说 $A$A 是 $B$B 的真子集，记作 $A \subsetneqq B$A⫋B。如果 $A \subseteq B$A⊆B 且 $B \subseteq A$B⊆A，两个集合相等，记作 $A = B$A=B。

有两条规定要记住：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。

一个有 $n$n 个元素的集合，它的子集个数有公式可用：

种类	个数	例：$\{a, b, c\}${a,b,c}（$n = 3$n=3）
子集	$2^n$2n	8 个
真子集（去掉它自己）	$2^n - 1$2n−1	7 个
非空子集（去掉空集）	$2^n - 1$2n−1	7 个
非空真子集（去掉两头）	$2^n - 2$2n−2	6 个

集合的运算

三种运算都用「且」「或」「不属于」来定义：

运算	记号	含义	口诀
交集	$A \cap B$A∩B	既属于 $A$A 又属于 $B$B 的元素	取公共部分
并集	$A \cup B$A∪B	属于 $A$A 或属于 $B$B 的元素	合在一起，重复的只写一次
补集	$\complement_U A$∁U​A	全集 $U$U 中不属于 $A$A 的元素	在全集里取剩下的

举个例子，设 $A = \{1, 2, 3, 4\}$A={1,2,3,4}，$B = \{3, 4, 5, 6\}$B={3,4,5,6}，全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$U={1,2,3,4,5,6}。那么 $A \cap B = \{3, 4\}$A∩B={3,4}，$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$A∪B={1,2,3,4,5,6}，$\complement_U A = \{5, 6\}$∁U​A={5,6}。

几条常用的结论：$A \cap A = A$A∩A=A，$A \cup \varnothing = A$A∪∅=A，$A \cap \varnothing = \varnothing$A∩∅=∅，$A \cup \complement_U A = U$A∪∁U​A=U，$A \cap \complement_U A = \varnothing$A∩∁U​A=∅。另外，$A \subseteq B$A⊆B 等价于 $A \cap B = A$A∩B=A，也等价于 $A \cup B = B$A∪B=B。

区间与数轴

不等式的解集是连续的一段，用区间写最简洁。圆括号表示端点取不到，方括号表示端点取得到。先看有限区间：

集合	区间	名称
$\{x \mid a \le x \le b\}${x∣a≤x≤b}	$[a, b]$[a,b]	闭区间
$\{x \mid a \lt x \lt b\}${x∣a<x<b}	$(a, b)$(a,b)	开区间
$\{x \mid a \le x \lt b\}${x∣a≤x<b}	$[a, b)$[a,b)	半开半闭区间
$\{x \mid a \lt x \le b\}${x∣a<x≤b}	$(a, b]$(a,b]	半开半闭区间

再看一端或两端无限的区间。$+\infty$+∞ 和 $-\infty$−∞ 读作「正无穷」「负无穷」，它们不是数，所以旁边永远是圆括号：

集合	区间
$\{x \mid x \ge a\}${x∣x≥a}	$[a, +\infty)$[a,+∞)
$\{x \mid x \gt a\}${x∣x>a}	$(a, +\infty)$(a,+∞)
$\{x \mid x \le b\}${x∣x≤b}	$(-\infty, b]$(−∞,b]
$\{x \mid x \lt b\}${x∣x<b}	$(-\infty, b)$(−∞,b)
全体实数 $\mathbf{R}$R	$(-\infty, +\infty)$(−∞,+∞)

求连续集合的交集、并集和补集，最稳的办法是画数轴：把两个集合分别画成数轴上的线段，含端点画实心点，不含端点画空心点，交集看两段重叠的部分，并集看覆盖到的全部，补集看全集里没覆盖到的部分。例如 $A = (-1, 3]$A=(−1,3]，$B = [2, +\infty)$B=[2,+∞)：重叠部分是 $[2, 3]$[2,3]，所以 $A \cap B = [2, 3]$A∩B=[2,3]；覆盖的部分从 $-1$−1（不含）一直向右，所以 $A \cup B = (-1, +\infty)$A∪B=(−1,+∞)；在 $\mathbf{R}$R 中 $A$A 的补集是 $(-\infty, -1] \cup (3, +\infty)$(−∞,−1]∪(3,+∞)。

易错提醒

• ❌ $2 \subseteq \{1, 2, 3\}$2⊆{1,2,3}。
  ✅ $2 \in \{1, 2, 3\}$2∈{1,2,3}。
  元素和集合之间用 $\in$∈，集合和集合之间才用 $\subseteq$⊆。

• ❌ 求出含字母的集合后直接写答案，集合里出现了重复元素。
  ✅ 求出参数后回代，检查元素是否互异。
  比如 $A = \{1, 3, a\}$A={1,3,a} 里，$a$a 不能等于 1 或 3。

• ❌ 已知 $B \subseteq A$B⊆A，只考虑 $B$B 非空的情形。
  ✅ 先单独讨论 $B = \varnothing$B=∅。
  空集是任何集合的子集，漏掉它就会丢解。

• ❌ $(1, 3] \cap [3, 5)$(1,3]∩[3,5) 写成空集。
  ✅ 结果是 $\{3\}${3}。
  3 两边都取得到，所以是只含一个元素的集合，不是空集。

• ❌ 把区间写成 $[1, +\infty]$[1,+∞]。
  ✅ 写成 $[1, +\infty)$[1,+∞)。
  无穷大不是数，永远配圆括号。

例题精讲

例题 1

已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$A={x∣x2−3x+2=0}，$B = \{x \in \mathbf{N} \mid 0 \lt x \lt 3\}$B={x∈N∣0<x<3}，则 $A$A 与 $B$B 的关系是

A. $A \subsetneqq B$A⫋B　　B. $B \subsetneqq A$B⫋A　　C. $A = B$A=B　　D. $A \cap B = \varnothing$A∩B=∅

答案：C

解析：解方程 $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$x2−3x+2=(x−1)(x−2)=0，得 $A = \{1, 2\}$A={1,2}。$B$B 是大于 0 且小于 3 的自然数，只有 1 和 2，所以 $B = \{1, 2\}$B={1,2}。两个集合的元素完全一样，$A = B$A=B。

例题 2

已知集合 $M = \{x \mid -2 \lt x \lt 3\}$M={x∣−2<x<3}，$N = \{x \mid x \ge 0\}$N={x∣x≥0}，则 $M \cap N$M∩N 等于

A. $(-2, +\infty)$(−2,+∞)　　B. $[0, 3)$[0,3)　　C. $(0, 3)$(0,3)　　D. $(-2, 0]$(−2,0]

答案：B

解析：$M = (-2, 3)$M=(−2,3)，$N = [0, +\infty)$N=[0,+∞)。在数轴上，两段重叠的部分从 0（含）到 3（不含），所以 $M \cap N = [0, 3)$M∩N=[0,3)。A 是并集 $M \cup N$M∪N。C 把端点 0 错当成取不到，D 取成了 $N$N 左边的那一段，都不对。

例题 3

已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$U={1,2,3,4,5}，$A = \{1, 3\}$A={1,3}，$B = \{3, 4, 5\}$B={3,4,5}，则 $(\complement_U A) \cap B$(∁U​A)∩B 等于

A. $\{2, 4, 5\}${2,4,5}　　B. $\{4, 5\}${4,5}　　C. $\{3\}${3}　　D. $\{1, 2, 4, 5\}${1,2,4,5}

答案：B

解析：有括号先算括号。$\complement_U A = \{2, 4, 5\}$∁U​A={2,4,5}，再与 $B = \{3, 4, 5\}$B={3,4,5} 取公共部分，得 $\{4, 5\}${4,5}。A 只做了补集没有再求交集，C 是 $A \cap B$A∩B。

本节小结

• 集合的元素具有确定性、互异性、无序性；元素与集合用 $\in$∈，集合与集合用 $\subseteq$⊆、$\subsetneqq$⫋、$=$=。
• $n$n 个元素的集合有 $2^n$2n 个子集，$2^n - 1$2n−1 个真子集，$2^n - 2$2n−2 个非空真子集。
• 交集取公共部分，并集合在一起，补集是在全集里取剩下的；有括号先算括号。
• 区间用圆括号表示取不到，方括号表示取得到，无穷大旁边永远是圆括号。
• 连续的集合先画数轴，再看重叠、覆盖和剩余；子集问题别忘了讨论空集。