双曲线

本节导读

双曲线和椭圆是一对姊妹曲线：椭圆是到两定点距离的和为定值，双曲线是到两定点距离的差的绝对值为定值。两者的方程形式很像，只差一个符号，所以学这一节要时刻对照上一节，把相同点和不同点分清楚。

试卷里，双曲线的考法有：由方程求焦点、实轴、虚轴、离心率；由方程写渐近线，或者由渐近线反求参数；由条件求双曲线的标准方程；用定义求到焦点的距离。学完这一节，你应该能写出定义和两种标准方程，记住 $c^2 = a^2 + b^2$c2=a2+b2，会判断焦点位置，会写渐近线，并会用待定系数法求方程。

双曲线的定义

平面内与两个定点 $F_1$F1​、$F_2$F2​ 的距离之差的绝对值等于常数的点的集合叫双曲线，这两个定点叫焦点，两焦点之间的距离叫焦距。设焦距为 $2c$2c，常数为 $2a$2a，要求 $0 \lt 2a \lt 2c$0<2a<2c。

如果 $2a = 2c$2a=2c，轨迹是两条射线，它们分别以 $F_1$F1​、$F_2$F2​ 为端点，沿直线 $F_1 F_2$F1​F2​ 向外延伸；如果 $2a \gt 2c$2a>2c，没有这样的点，轨迹不存在；如果 $2a = 0$2a=0，轨迹是线段 $F_1 F_2$F1​F2​ 的垂直平分线。这几种情形都不是双曲线。

定义里有绝对值，所以双曲线有两支。设 $P$P 是双曲线上一点：若 $P$P 在靠近 $F_2$F2​ 的那一支上，则 $\lvert PF_1 \rvert - \lvert PF_2 \rvert = 2a$∣PF1​∣−∣PF2​∣=2a；若 $P$P 在靠近 $F_1$F1​ 的那一支上，则 $\lvert PF_2 \rvert - \lvert PF_1 \rvert = 2a$∣PF2​∣−∣PF1​∣=2a。两种情形合起来写成 $\lvert PF_1 \rvert - \lvert PF_2 \rvert = \pm 2a$∣PF1​∣−∣PF2​∣=±2a。

标准方程

双曲线的标准方程也有两种，由焦点所在的坐标轴决定：

焦点位置	标准方程	焦点坐标
在 $x$x 轴上	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​−b2y2​=1（$a \gt 0$a>0，$b \gt 0$b>0）	$F_1(-c, 0)$F1​(−c,0)，$F_2(c, 0)$F2​(c,0)
在 $y$y 轴上	$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$a2y2​−b2x2​=1（$a \gt 0$a>0，$b \gt 0$b>0）	$F_1(0, -c)$F1​(0,−c)，$F_2(0, c)$F2​(0,c)

其中 $c^2 = a^2 + b^2$c2=a2+b2，$c$c 是最大的一个。与椭圆不同，双曲线的 $a$a 和 $b$b 之间没有大小要求，可以 $a \gt b$a>b，也可以 $a \lt b$a<b。

判断焦点位置，要看哪一项的系数为正：带正号的那一项，它的变量所在的坐标轴就是焦点所在的轴，和分母的大小无关。例如 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$9x2​−16y2​=1，$x^2$x2 项为正，焦点在 $x$x 轴上，$a^2 = 9$a2=9，$b^2 = 16$b2=16，$c^2 = 25$c2=25，$c = 5$c=5，焦点是 $(\pm 5, 0)$(±5,0)。又如 $\dfrac{y^2}{4} - \dfrac{x^2}{5} = 1$4y2​−5x2​=1，$y^2$y2 项为正，焦点在 $y$y 轴上，$a^2 = 4$a2=4，$b^2 = 5$b2=5，$c^2 = 9$c2=9，焦点是 $(0, \pm 3)$(0,±3)。

几何性质

以焦点在 $x$x 轴上的双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​−b2y2​=1 为例：

性质	内容
范围	$x \ge a$x≥a 或 $x \le -a$x≤−a，$y$y 取任意实数
对称性	关于 $x$x 轴、$y$y 轴、原点对称
顶点	$(\pm a, 0)$(±a,0)
实轴、虚轴	实轴长 $2a$2a，虚轴长 $2b$2b
焦距	$2c$2c
离心率	$e = \dfrac{c}{a}$e=ac​，$e \gt 1$e>1

实轴是连接两个顶点的线段，虚轴是连接点 $(0, -b)$(0,−b) 和 $(0, b)$(0,b) 的线段，它们的长度分别是 $2a$2a 和 $2b$2b。离心率 $e \gt 1$e>1，这一点和椭圆相反。又因为 $e^2 = \dfrac{c^2}{a^2} = 1 + \dfrac{b^2}{a^2}$e2=a2c2​=1+a2b2​，所以 $e$e 越大，$\dfrac{b}{a}$ab​ 越大，双曲线的开口越大。例如 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$9x2​−16y2​=1，$e = \dfrac{5}{3}$e=35​，实轴长 6，虚轴长 8，焦距 10。

渐近线

当 $\lvert x \rvert$∣x∣ 越来越大时，双曲线的两支越来越接近两条直线，这两条直线叫渐近线。焦点在 $x$x 轴上的 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​−b2y2​=1，渐近线是 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$y=±ab​x；焦点在 $y$y 轴上的 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$a2y2​−b2x2​=1，渐近线是 $y = \pm\dfrac{a}{b}x$y=±ba​x。

不用死记，有一个通用办法：把方程右边的 $1$1 换成 $0$0，再解出 $y$y。例如 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 0$9x2​−16y2​=0，得 $y^2 = \dfrac{16}{9}x^2$y2=916​x2，$y = \pm\dfrac{4}{3}x$y=±34​x。

两个常用结论：

• 等轴双曲线：$a = b$a=b 的双曲线，方程可以写成 $x^2 - y^2 = \lambda$x2−y2=λ（$\lambda \ne 0$λ=0），渐近线是 $y = \pm x$y=±x，离心率 $e = \sqrt{2}$e=2​。
• 共渐近线：与 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​−b2y2​=1 有相同渐近线的双曲线，可以设成 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda$a2x2​−b2y2​=λ（$\lambda \ne 0$λ=0），再用已知条件求 $\lambda$λ。