考前冲刺与应试策略

本节导读

这是全课的最后一节，用法和前面不同：不学新知识，而是把前十章串起来，再讲怎样在考场上把会做的题拿到分。建议在学完前面各节之后、考前的最后一到两周使用。先对照知识地图，看哪一章还有薄弱的地方；再过一遍公式速记；最后按答题策略做限时练习。

本节后面的练习是跨章节的综合题，每一道题来自不同的章。做的时候先判断它属于哪一章，再回忆那一章的方法，这个「先归类」的习惯，在考场上同样有用。

十章知识地图

先看代数部分，包括第一章到第五章：

章	要掌握的内容	常见题型
第一章 集合与简易逻辑	交集、并集、补集；四种命题；充分条件与必要条件	集合运算，判断条件关系
第二章 函数	定义域；单调性与奇偶性；一次、二次函数；指数、对数函数	求定义域，判断性质，比较大小，求参数
第三章 不等式	不等式的性质；绝对值不等式；一元二次不等式与分式不等式	解不等式，恒成立问题
第四章 数列	通项公式；等差数列、等比数列的通项与求和	求某一项、前 $n$n 项和，求公差、公比
第五章 导数	求导公式与法则；切线；单调性、极值和最值	求切线方程，求单调区间和极值

再看三角与向量，包括第六章和第七章：

章	要掌握的内容	常见题型
第六章 三角函数	弧度制；任意角的三角函数；同角关系与诱导公式；和差倍角公式；图像与性质；解三角形	求值，化简，求周期和最值，解三角形
第七章 平面向量	线性运算；坐标运算；数量积	坐标运算，求模与夹角，判断平行和垂直

最后是平面解析几何与概率统计，包括第八章到第十章：

章	要掌握的内容	常见题型
第八章 直线与圆	斜率与直线方程；两直线的位置关系与距离；圆的方程；直线与圆的位置关系	求直线和圆的方程，求距离，判断位置关系
第九章 圆锥曲线	椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质；直线与圆锥曲线；弦长	求方程，求离心率，直线与曲线相交
第十章 概率与统计初步	计数原理与排列组合；概率；抽样、平均数与方差	计数，求概率，读数据

公式速记

下面的公式在前面各节都推导或用过。考前不用再推，抄到小卡片上，每天看一遍。

代数部分

• 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c 的顶点横坐标是 $x = -\dfrac{b}{2a}$x=−2ab​；判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$Δ=b2−4ac。
• 对数运算：$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$loga​(MN)=loga​M+loga​N，$\log_a M^n = n\log_a M$loga​Mn=nloga​M，换底公式 $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$loga​b=logc​alogc​b​。
• 绝对值不等式（$a \gt 0$a>0）：$\lvert x \rvert \lt a \Leftrightarrow -a \lt x \lt a$∣x∣<a⇔−a<x<a；$\lvert x \rvert \gt a \Leftrightarrow x \lt -a$∣x∣>a⇔x<−a 或 $x \gt a$x>a。
• 等差数列：$a_n = a_1 + (n-1)d$an​=a1​+(n−1)d，$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$Sn​=2n(a1​+an​)​=na1​+2n(n−1)​d。
• 等比数列：$a_n = a_1 q^{n-1}$an​=a1​qn−1，$S_n = \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$Sn​=1−qa1​(1−qn)​（$q \ne 1$q=1）。
• 导数：$(x^n)' = nx^{n-1}$(xn)′=nxn−1，$(\sin x)' = \cos x$(sinx)′=cosx，$(\cos x)' = -\sin x$(cosx)′=−sinx，$(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$(ex)′=ex，$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$(lnx)′=x1​；切线方程 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$y−f(x0​)=f′(x0​)(x−x0​)。

三角与向量

• 同角关系：$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$sin2α+cos2α=1，$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$tanα=cosαsinα​。
• 两角和差：$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ。
• 二倍角：$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$sin2α=2sinαcosα，$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α。
• 解三角形：正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$sinAa​=sinBb​=sinCc​=2R；余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$a2=b2+c2−2bccosA；面积 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$S=21​absinC。
• 向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$a=(x1​,y1​)，$\vec{b} = (x_2, y_2)$b=(x2​,y2​)：数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = \lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert\cos\theta$a⋅b=x1​x2​+y1​y2​=∣a∣∣b∣cosθ；垂直 $\Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$⇔x1​x2​+y1​y2​=0；平行 $\Leftrightarrow x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$⇔x1​y2​−x2​y1​=0。

平面解析几何

• 直线：斜率 $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$k=x2​−x1​y2​−y1​​，点斜式 $y - y_0 = k(x - x_0)$y−y0​=k(x−x0​)，点到直线的距离 $d = \dfrac{\lvert Ax_0 + By_0 + C \rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$d=A2+B2​∣Ax0​+By0​+C∣​。
• 圆：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$(x−a)2+(y−b)2=r2；直线与圆比较圆心到直线的距离 $d$d 和半径 $r$r，弦长 $2\sqrt{r^2 - d^2}$2r2−d2​。
• 椭圆 $c^2 = a^2 - b^2$c2=a2−b2，$e = \dfrac{c}{a} \in (0, 1)$e=ac​∈(0,1)；双曲线 $c^2 = a^2 + b^2$c2=a2+b2，$e \gt 1$e>1，焦点在 $x$x 轴时渐近线是 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$y=±ab​x；抛物线 $y^2 = 2px$y2=2px 的焦点是 $\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$(2p​,0)，准线是 $x = -\dfrac{p}{2}$x=−2p​。
• 弦长：$\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + k^2} \cdot \lvert x_1 - x_2 \rvert$∣AB∣=1+k2​⋅∣x1​−x2​∣，其中 $\lvert x_1 - x_2 \rvert$∣x1​−x2​∣ 用韦达定理。