不等式的性质与绝对值不等式

本节导读

不等式是代数部分的第三个板块。这一节讲不等式的基本性质、一次不等式（组）和绝对值不等式，下一节再讲一元二次不等式。试卷里的考法有：用性质判断「已知 $a \gt b$a>b，下面哪个式子一定成立」，解一个不等式组或绝对值不等式并写出解集，以及在求函数定义域、判断集合关系时用到不等式的解法。这些题单个都不难，但是符号处理一旦出错就全丢。

学完这一节，你应该能熟练运用不等式的性质，特别是乘除负数要变号；会解一元一次不等式组并取交集；会解 $\lvert ax + b \rvert \lt c$∣ax+b∣<c 和 $\lvert ax + b \rvert \gt c$∣ax+b∣>c 两类绝对值不等式；并了解基本不等式的用法。

不等式的性质

不等式的性质和等式的性质很像，区别主要在乘除：

性质	内容	说明
对称性	$a \gt b \iff b \lt a$a>b⟺b<a	两边交换，不等号方向也换
传递性	$a \gt b$a>b，$b \gt c \Rightarrow a \gt c$b>c⇒a>c	像接力一样传下去
加法性质	$a \gt b \Rightarrow a + c \gt b + c$a>b⇒a+c>b+c	两边加减同一个数，不变号；移项就是它
乘法性质（正数）	$a \gt b$a>b，$c \gt 0 \Rightarrow ac \gt bc$c>0⇒ac>bc	乘（除）正数，不变号
乘法性质（负数）	$a \gt b$a>b，$c \lt 0 \Rightarrow ac \lt bc$c<0⇒ac<bc	乘（除）负数，要变号
同向相加	$a \gt b$a>b，$c \gt d \Rightarrow a + c \gt b + d$c>d⇒a+c>b+d	同方向的不等式可以相加
同向相乘	$a \gt b \gt 0$a>b>0，$c \gt d \gt 0 \Rightarrow ac \gt bd$c>d>0⇒ac>bd	要求各数都是正数
乘方	$a \gt b \gt 0 \Rightarrow a^n \gt b^n$a>b>0⇒an>bn	要求都是正数

比较两个数的大小，最基本的办法是作差：$a - b \gt 0$a−b>0 就是 $a \gt b$a>b。要特别注意的是，不等式可以同向相加，但不能相减、不能相除，也不能随意乘方：$a \gt b$a>b 不能推出 $a^2 \gt b^2$a2>b2，反例 $a = 1$a=1，$b = -2$b=−2。

一元一次不等式（组）

一元一次不等式

解法和解一元一次方程相同：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。只有最后一步要小心，两边同除以负数时不等号要变方向。例如解 $\dfrac{2x - 1}{3} \ge x - 2$32x−1​≥x−2：两边乘以 3，得 $2x - 1 \ge 3x - 6$2x−1≥3x−6，移项得 $-x \ge -5$−x≥−5，两边同除以 $-1$−1，不等号变向，得 $x \le 5$x≤5。

一元一次不等式组

不等式组的解集是各个不等式解集的交集。解法分三步：先分别解每个不等式，再把解集画在同一条数轴上，最后找公共部分。两个不等式的四种位置关系可以用口诀记：

两个不等式（$a \lt b$a<b）	公共部分	口诀
$x \gt a$x>a，$x \gt b$x>b	$x \gt b$x>b	同大取大
$x \lt a$x<a，$x \lt b$x<b	$x \lt a$x<a	同小取小
$x \gt a$x>a，$x \lt b$x<b	$a \lt x \lt b$a<x<b	大小小大中间找
$x \lt a$x<a，$x \gt b$x>b	无解	大大小小无处找

例如解 $\begin{cases} 2x - 1 \gt 3 \\ x + 2 \le 7 \end{cases}${2x−1>3x+2≤7​：第一个得 $x \gt 2$x>2，第二个得 $x \le 5$x≤5，公共部分是 $2 \lt x \le 5$2<x≤5，即 $(2, 5]$(2,5]。

绝对值不等式

$\lvert x \rvert$∣x∣ 表示数轴上的点 $x$x 到原点的距离，所以 $\lvert x \rvert \lt a$∣x∣<a 就是「到原点的距离小于 $a$a」，$\lvert x \rvert \gt a$∣x∣>a 就是「到原点的距离大于 $a$a」。当 $a \gt 0$a>0 时，有两个基本结论：

$$\lvert x \rvert \lt a \iff -a \lt x \lt a, \qquad \lvert x \rvert \gt a \iff x \lt -a \text{ 或 } x \gt a$$∣x∣<a⟺−a<x<a,∣x∣>a⟺x<−a 或 x>a

口诀：小于取中间，大于取两边。遇到 $\lvert ax + b \rvert \lt c$∣ax+b∣<c 或 $\lvert ax + b \rvert \gt c$∣ax+b∣>c，把 $ax + b$ax+b 当作整体 $x$x，套用上面的结论，再解关于 $x$x 的一次不等式。

例如解 $\lvert 2x - 1 \rvert \lt 3$∣2x−1∣<3：转化为 $-3 \lt 2x - 1 \lt 3$−3<2x−1<3，各部分加 1 得 $-2 \lt 2x \lt 4$−2<2x<4，除以 2 得 $-1 \lt x \lt 2$−1<x<2，解集是 $(-1, 2)$(−1,2)。再如解 $\lvert x - 2 \rvert \ge 1$∣x−2∣≥1：转化为 $x - 2 \le -1$x−2≤−1 或 $x - 2 \ge 1$x−2≥1，得 $x \le 1$x≤1 或 $x \ge 3$x≥3，解集是 $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$(−∞,1]∪[3,+∞)。

当 $c \le 0$c≤0 时要特殊处理：绝对值不会是负数，所以 $\lvert x \rvert \lt -1$∣x∣<−1 无解，而 $\lvert x \rvert \gt -1$∣x∣>−1 对所有实数都成立；$c = 0$c=0 时，$\lvert x \rvert \lt 0$∣x∣<0 无解，$\lvert x \rvert \gt 0$∣x∣>0 的解集是 $x \ne 0$x=0。

基本不等式（了解）

对任意正数 $a$a、$b$b，有

$$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$$2a+b​≥ab​

当且仅当 $a = b$a=b 时等号成立，也就是 $a + b \ge 2\sqrt{ab}$a+b≥2ab​。它可以用来求最值，口诀是「一正二定三相等」：各项为正；和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值；等号必须取得到。

例如 $x \gt 0$x>0，求 $x + \dfrac{4}{x}$x+x4​ 的最小值：$x$x 与 $\dfrac{4}{x}$x4​ 都为正，积 $x \cdot \dfrac{4}{x} = 4$x⋅x4​=4 是定值，所以 $x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt{4} = 4$x+x4​≥24​=4；当 $x = \dfrac{4}{x}$x=x4​，即 $x = 2$x=2 时等号成立，最小值是 4。

易错提醒

• ❌ 解 $-2x \gt 6$−2x>6 得 $x \gt -3$x>−3。
  ✅ 两边除以 $-2$−2，不等号要变向，$x \lt -3$x<−3。
  乘除负数变号，是这一章第一大失分点。

• ❌ 由 $a \gt b$a>b 推出 $a^2 \gt b^2$a2>b2。
  ✅ 只有 $a \gt b \gt 0$a>b>0 时才成立，$a = 1$a=1，$b = -2$b=−2 就是反例。
  不等式的乘方、同向相乘，都要求各数为正。

• ❌ 由 $a \gt b$a>b，$c \gt d$c>d 推出 $a - c \gt b - d$a−c>b−d。
  ✅ 不等式不能相减。
  取 $a = 5$a=5，$b = 1$b=1，$c = 4$c=4，$d = 0$d=0，则 $a - c = 1$a−c=1，$b - d = 1$b−d=1，不成立。

• ❌ 把 $\lvert x \rvert \lt 3$∣x∣<3 解成 $x \lt -3$x<−3 或 $x \gt 3$x>3。
  ✅ 小于取中间：$-3 \lt x \lt 3$−3<x<3。
  口诀别记反，也可以用数轴上的距离来验证。

• ❌ 不等式组的解集取了并集。
  ✅ 不等式组要求同时成立，取交集。
  「或」用并集，「且」用交集。

• ❌ 用基本不等式求最值，不检查等号能不能取到。
  ✅ 一正二定三相等，三个条件缺一不可。
  例如 $x \gt 0$x>0 时 $x + \dfrac{1}{x} \ge 2$x+x1​≥2 成立，但如果限制 $0 \lt x \lt \dfrac{1}{2}$0<x<21​，等号取不到，最小值就不是 2。

例题精讲

例题 1

不等式组 $\begin{cases} 2x - 1 \gt 3 \\ x + 2 \le 7 \end{cases}${2x−1>3x+2≤7​ 的解集是

A. $(2, 5)$(2,5)　　B. $[2, 5]$[2,5]　　C. $(2, 5]$(2,5]　　D. $(-\infty, 5]$(−∞,5]

答案：C

解析：第一个不等式移项得 $2x \gt 4$2x>4，$x \gt 2$x>2；第二个得 $x \le 5$x≤5。两个同时成立，取交集 $2 \lt x \le 5$2<x≤5，即 $(2, 5]$(2,5]。A 把 5 去掉了，B 把 2 包含进去了，D 只取了第二个不等式。

例题 2

不等式 $\lvert 2x - 1 \rvert \lt 3$∣2x−1∣<3 的解集是

A. $(-1, 2)$(−1,2)　　B. $(-2, 1)$(−2,1)　　C. $(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$(−∞,−1)∪(2,+∞)　　D. $(-2, 2)$(−2,2)

答案：A

解析：小于取中间：$-3 \lt 2x - 1 \lt 3$−3<2x−1<3，各部分加 1 得 $-2 \lt 2x \lt 4$−2<2x<4，各部分除以 2 得 $-1 \lt x \lt 2$−1<x<2。C 是把「小于」当成了「大于」的结果；B、D 是解 $-3 \lt 2x - 1 \lt 3$−3<2x−1<3 时，加 1 或除以 2 这一步出错了。

例题 3

已知 $x \gt 0$x>0，则 $x + \dfrac{4}{x}$x+x4​ 的最小值是

A. $2$2　　B. $4$4　　C. $5$5　　D. $8$8

答案：B

解析：$x \gt 0$x>0，由基本不等式 $x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$x+x4​≥2x⋅x4​​=24​=4，当 $x = 2$x=2 时取等号，所以最小值是 4。A 把 $2\sqrt{4}$24​ 错算成了 2；C 是 $x = 1$x=1 或 $x = 4$x=4 时的函数值，不是最小值；D 是 $2 \times 4$2×4，没有对 4 开方。

本节小结

• 不等式两边加减同一个数不变号；乘除正数不变号；乘除负数要变号。
• 不等式可以同向相加，不能相减、相除；乘方和同向相乘要求各数为正。
• 不等式组取交集，口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。
• 绝对值不等式：$\lvert x \rvert \lt a$∣x∣<a 取中间，$\lvert x \rvert \gt a$∣x∣>a 取两边；整体代换 $ax + b$ax+b。
• 基本不等式 $a + b \ge 2\sqrt{ab}$a+b≥2ab​（$a$a、$b$b 为正），求最值时一正二定三相等。