函数的概念与定义域

本节导读

函数是整门课的地基。这一节从最基本的问题讲起：什么样的对应关系才算函数，函数的定义域怎么求，函数值怎么算。在试卷里，求定义域是选择题和填空题的常客，求函数值、判断两个函数是否相同也经常出现，加起来每年大约有一两道题。

学完这一节，你应该能用「一个 $x$x 只对应一个 $y$y」来判断函数，会求含分式、根式、零次幂的函数的定义域，会处理 $f(2x - 1)$f(2x−1) 这种抽象函数，并会计算分段函数的值。

函数的概念

定义与三要素

设 $A$A、$B$B 是两个非空数集，如果按照某个对应法则 $f$f，对 $A$A 中的每一个数 $x$x，在 $B$B 中都有唯一确定的数 $y$y 和它对应，那么 $f$f 就叫做从 $A$A 到 $B$B 的一个函数，记作 $y = f(x)$y=f(x)，$x \in A$x∈A。其中 $x$x 叫自变量，$A$A 叫定义域，函数值 $f(x)$f(x) 组成的集合叫值域。

判断是不是函数，抓住「唯一」两个字：一个 $x$x 只能对应一个 $y$y，可以多个 $x$x 对应同一个 $y$y，但不能一个 $x$x 对应两个 $y$y。从图像上看，垂直于 $x$x 轴的直线与图像最多有一个交点。例如圆 $x^2 + y^2 = 1$x2+y2=1 就不是函数图像，因为 $x = 0$x=0 时 $y$y 可以取 $1$1 也可以取 $-1$−1。

定义域、对应法则、值域叫函数的三要素。值域是由前两个决定的，所以判断两个函数是不是同一个函数，只看两点：定义域是否相同，对应法则是否相同。自变量用什么字母无关紧要，$f(x) = x^2$f(x)=x2 和 $g(t) = t^2$g(t)=t2 是同一个函数。

同一函数的判断

两个函数	是否相同	原因
$f(x) = x^2$f(x)=x2 与 $g(t) = t^2$g(t)=t2	相同	定义域都是 $\mathbf{R}$R，对应法则相同，字母不同不影响
$f(x) = \dfrac{x^2}{x}$f(x)=xx2​ 与 $g(x) = x$g(x)=x	不同	$f$f 的定义域是 $x \ne 0$x=0，$g$g 的定义域是 $\mathbf{R}$R
$f(x) = x$f(x)=x 与 $g(x) = (\sqrt{x})^2$g(x)=(x​)2	不同	$g$g 的定义域是 $x \ge 0$x≥0，$f$f 的定义域是 $\mathbf{R}$R

函数的定义域

常见的限制条件

定义域是使函数解析式有意义的所有 $x$x 的集合。如果题目没有特别说明，求定义域就是找出解析式里「不能做的事」，下表四种最常见：

解析式的形式	要求	例子
分式 $\dfrac{1}{g(x)}$g(x)1​	分母 $g(x) \ne 0$g(x)=0	$y = \dfrac{1}{x - 2}$y=x−21​，$x \ne 2$x=2
偶次根式 $\sqrt{g(x)}$g(x)​	被开方数 $g(x) \ge 0$g(x)≥0	$y = \sqrt{x - 1}$y=x−1​，$x \ge 1$x≥1
零次幂 $[g(x)]^0$[g(x)]0	底数 $g(x) \ne 0$g(x)=0	$y = (x - 1)^0$y=(x−1)0，$x \ne 1$x=1
对数 $\log_a g(x)$loga​g(x)	真数 $g(x) \gt 0$g(x)>0	$y = \log_2 (x + 1)$y=log2​(x+1)，$x \gt -1$x>−1

还有两种组合要留意：根式在分母上，如 $\dfrac{1}{\sqrt{g(x)}}$g(x)​1​，要求 $g(x) \gt 0$g(x)>0（既要被开方数非负，又不能为零）；几个式子相加相乘，要同时满足每一部分的要求，也就是求交集。

求定义域的步骤

第一步，把每个部分的限制条件列出来，写成不等式组；第二步，解每个不等式；第三步，取它们的交集；第四步，用集合或区间的形式写出答案。

例如求 $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x - 1}$f(x)=x−1x+3​​ 的定义域：根式要求 $x + 3 \ge 0$x+3≥0，即 $x \ge -3$x≥−3；分母要求 $x - 1 \ne 0$x−1=0，即 $x \ne 1$x=1。两个条件同时成立，定义域是 $[-3, 1) \cup (1, +\infty)$[−3,1)∪(1,+∞)。

抽象函数的定义域

抽象函数是没有给出具体解析式的函数，抓住一条原则：同一个对应法则 $f$f 作用的对象，范围是一样的，括号里整体的取值范围不变。

例如，已知 $f(x)$f(x) 的定义域是 $[0, 4]$[0,4]，求 $f(2x - 1)$f(2x−1) 的定义域。这里括号里的整体 $2x - 1$2x−1 要落在 $[0, 4]$[0,4] 内，列出 $0 \le 2x - 1 \le 4$0≤2x−1≤4，各部分加 1 得 $1 \le 2x \le 5$1≤2x≤5，再除以 2，得 $\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{5}{2}$21​≤x≤25​，所以 $f(2x - 1)$f(2x−1) 的定义域是 $\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right]$[21​,25​]。

函数值与分段函数

函数值与解析式

$f(a)$f(a) 表示 $x = a$x=a 时的函数值，做法就是把解析式里的 $x$x 全部换成 $a$a。例如 $f(x) = 2x - 1$f(x)=2x−1，则 $f(3) = 5$f(3)=5，$f(x + 1) = 2(x + 1) - 1 = 2x + 1$f(x+1)=2(x+1)−1=2x+1。

已知 $f(g(x))$f(g(x)) 的式子求 $f(x)$f(x)，常用换元法：令括号里的整体等于 $t$t，把 $x$x 用 $t$t 表示出来，代回去，最后把 $t$t 换回 $x$x。

分段函数

在定义域的不同范围内，用不同的式子表示的函数叫分段函数。它是一个函数，不是几个函数；定义域是各段范围合起来。例如

$$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \le 0 \\ x^2, & x \gt 0 \end{cases}$$f(x)={x+1,x2,​x≤0x>0​

求分段函数的值，先看自变量在哪一段，再代入那一段的式子。上面的函数中，$f(-2) = -2 + 1 = -1$f(−2)=−2+1=−1，$f(3) = 3^2 = 9$f(3)=32=9。遇到 $f(f(-1))$f(f(−1)) 这类，由里到外一层一层算：$f(-1) = 0$f(−1)=0，$f(0) = 0 + 1 = 1$f(0)=0+1=1，所以 $f(f(-1)) = 1$f(f(−1))=1。

易错提醒

• ❌ 先化简再求定义域：$y = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$y=x−1x2−1​ 化简成 $y = x + 1$y=x+1，说定义域是 $\mathbf{R}$R。
  ✅ 定义域要看原来的式子，$x \ne 1$x=1。
  化简会把不能取的点悄悄丢掉。

• ❌ $y = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}$y=x−1​⋅x+1​ 的定义域写成 $x \le -1$x≤−1 或 $x \ge 1$x≥1。
  ✅ 两个根式都要有意义，$x - 1 \ge 0$x−1≥0 且 $x + 1 \ge 0$x+1≥0，所以是 $x \ge 1$x≥1。
  它和 $y = \sqrt{x^2 - 1}$y=x2−1​ 不是同一个函数。

• ❌ 把「$f(2x - 1)$f(2x−1) 的定义域是 $[0, 4]$[0,4]」当成「$f(x)$f(x) 的定义域是 $[0, 4]$[0,4]」。
  ✅ 前者说的是 $x$x 的范围，后者才是括号里整体的范围。
  这一句话读不准，整道题就反了。

• ❌ 分段函数求值时不看范围，直接把数代进第一个式子。
  ✅ 先判断自变量落在哪一段，再代入对应的式子。
  边界点要看清楚是 $\le$≤ 还是 $\lt$<。

• ❌ 定义域写成「$x \gt 2$x>2 且 $x \ne 5$x=5」就交卷。
  ✅ 按题目要求写成集合或区间，如 $(2, 5) \cup (5, +\infty)$(2,5)∪(5,+∞)。
  选择题选项多半是区间，写成区间才好对照。

例题精讲

例题 1

函数 $y = \sqrt{x - 2} + \dfrac{1}{x - 5}$y=x−2​+x−51​ 的定义域是

A. $[2, +\infty)$[2,+∞)　　B. $[2, 5) \cup (5, +\infty)$[2,5)∪(5,+∞)　　C. $(2, 5) \cup (5, +\infty)$(2,5)∪(5,+∞)　　D. $(-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$(−∞,5)∪(5,+∞)

答案：B

解析：根式要求 $x - 2 \ge 0$x−2≥0，即 $x \ge 2$x≥2；分式要求 $x - 5 \ne 0$x−5=0，即 $x \ne 5$x=5。取交集得 $[2, 5) \cup (5, +\infty)$[2,5)∪(5,+∞)。A 漏掉了 $x \ne 5$x=5，C 把端点 2 去掉了，D 只考虑了分式。

例题 2

已知 $f(x - 1) = x^2 + 1$f(x−1)=x2+1，则 $f(x)$f(x) 等于

A. $x^2 + 1$x2+1　　B. $x^2 + 2x + 2$x2+2x+2　　C. $x^2 - 2x + 2$x2−2x+2　　D. $x^2 + 2x$x2+2x

答案：B

解析：用换元法。令 $t = x - 1$t=x−1，则 $x = t + 1$x=t+1，代入得 $f(t) = (t + 1)^2 + 1 = t^2 + 2t + 2$f(t)=(t+1)2+1=t2+2t+2，所以 $f(x) = x^2 + 2x + 2$f(x)=x2+2x+2。检验：$x = 1$x=1 时 $f(0) = 1^2 + 1 = 2$f(0)=12+1=2，而 B 中 $f(0) = 2$f(0)=2，吻合。

例题 3

下列各组函数中，表示同一个函数的是

A. $f(x) = x$f(x)=x 与 $g(x) = \dfrac{x^2}{x}$g(x)=xx2​　　B. $f(x) = x + 1$f(x)=x+1 与 $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$g(x)=x−1x2−1​　　C. $f(x) = \lvert x \rvert$f(x)=∣x∣ 与 $g(x) = \sqrt{x^2}$g(x)=x2​　　D. $f(x) = x^2$f(x)=x2 与 $g(x) = (\sqrt{x})^4$g(x)=(x​)4

答案：C

解析：同一函数要求定义域和对应法则都相同。A、B 中的 $g(x)$g(x) 分母不能为零，定义域比 $f(x)$f(x) 少一个点；D 中 $g(x)$g(x) 的定义域是 $x \ge 0$x≥0，比 $f(x)$f(x) 小。C 中 $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$x2​=∣x∣，两者定义域都是 $\mathbf{R}$R，对应法则相同。

本节小结

• 函数要求一个 $x$x 只对应唯一的 $y$y；判断两个函数是否相同，只看定义域和对应法则。
• 求定义域：分母不为零，偶次根式的被开方数非负，零次幂的底数不为零，对数的真数为正，多个条件取交集，结果写成集合或区间。
• 抽象函数：括号里整体的取值范围保持不变，据此解不等式。
• 求函数值就是代入；已知 $f(g(x))$f(g(x)) 求 $f(x)$f(x) 用换元法。
• 分段函数先判断自变量落在哪一段，再代入对应的式子。