直线的斜率与直线方程

本节导读

从这一节开始进入平面解析几何：用坐标和方程来研究几何图形。第一个研究对象是直线。试卷里，直线是解析几何中最基础的一块：选择题和填空题常考斜率、倾斜角、直线方程、截距；稍难的题目考直线过定点、直线经过哪几个象限；它也是后面圆和圆锥曲线的基础，解答题里联立直线与曲线的方程，是几乎每年都有的套路。

学完这一节，你应该能说出倾斜角与斜率的关系，会用两点求斜率，会写直线方程的五种形式，并会根据条件选择最合适的一种来求方程。

倾斜角与斜率

倾斜角

一条直线向上的方向与 $x$x 轴正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，记作 $\alpha$α。直线与 $x$x 轴平行或重合时，规定倾斜角为 $0°$0°。所以倾斜角的范围是 $0° \le \alpha \lt 180°$0°≤α<180°。

斜率

倾斜角不等于 $90°$90° 的直线，它的斜率定义为倾斜角的正切：$k = \tan\alpha$k=tanα。倾斜角为 $90°$90° 的直线（垂直于 $x$x 轴），斜率不存在。倾斜角与斜率的关系如下表：

倾斜角 $\alpha$α	斜率 $k$k	直线的走向
$\alpha = 0°$α=0°	$k = 0$k=0	水平
$0° \lt \alpha \lt 90°$0°<α<90°	$k \gt 0$k>0	从左下到右上
$\alpha = 90°$α=90°	不存在	竖直
$90° \lt \alpha \lt 180°$90°<α<180°	$k \lt 0$k<0	从左上到右下

已知直线上两点 $P_1(x_1, y_1)$P1​(x1​,y1​)、$P_2(x_2, y_2)$P2​(x2​,y2​)，当 $x_1 \ne x_2$x1​=x2​ 时，斜率

$$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$k=x2​−x1​y2​−y1​​

若 $x_1 = x_2$x1​=x2​，直线垂直于 $x$x 轴，斜率不存在。例如过 $A(1, 2)$A(1,2)、$B(3, 6)$B(3,6) 的直线，$k = \dfrac{6 - 2}{3 - 1} = 2$k=3−16−2​=2；倾斜角是 $120°$120° 的直线，斜率 $k = \tan 120° = -\sqrt{3}$k=tan120°=−3​；过 $(2, 3)$(2,3)、$(2, 5)$(2,5) 的直线，两点横坐标相同，斜率不存在，倾斜角为 $90°$90°。

直线方程的形式

五种形式

直线的方程有五种常用的写法，要知道每一种的适用条件：

名称	方程	适用条件
点斜式	$y - y_0 = k(x - x_0)$y−y0​=k(x−x0​)	已知一点 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 和斜率 $k$k（斜率存在）
斜截式	$y = kx + b$y=kx+b	已知斜率 $k$k 和 $y$y 轴上的截距 $b$b
两点式	$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$y2​−y1​y−y1​​=x2​−x1​x−x1​​	已知两点，且 $x_1 \ne x_2$x1​=x2​、$y_1 \ne y_2$y1​=y2​
截距式	$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ax​+by​=1	在两轴上的截距 $a$a、$b$b 都不为 0
一般式	$Ax + By + C = 0$Ax+By+C=0（$A$A、$B$B 不同时为 0）	任何直线

两条特殊的直线：垂直于 $x$x 轴的直线是 $x = a$x=a，斜率不存在；平行于 $x$x 轴的直线是 $y = b$y=b，斜率为 0。

截距与斜率的读取

横截距是直线与 $x$x 轴交点的横坐标，纵截距是直线与 $y$y 轴交点的纵坐标。截距是一个坐标值，可以是正数、负数或 0，不是距离。

一般式 $Ax + By + C = 0$Ax+By+C=0 中，如果 $B \ne 0$B=0，可以化成 $y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}$y=−BA​x−BC​，于是斜率 $k = -\dfrac{A}{B}$k=−BA​，纵截距是 $-\dfrac{C}{B}$−BC​。令 $y = 0$y=0 可以求横截距，令 $x = 0$x=0 可以求纵截距。

求直线方程的方法

用待定系数法，条件是什么就选什么形式：知道一点和斜率，用点斜式；知道两点，先求斜率再用点斜式；知道两个截距，用截距式。最后通常整理成一般式。

例如过点 $(1, 2)$(1,2)、斜率为 3：$y - 2 = 3(x - 1)$y−2=3(x−1)，整理为 $3x - y - 1 = 0$3x−y−1=0。过 $A(1, 2)$A(1,2)、$B(3, 6)$B(3,6)：$k = 2$k=2，$y - 2 = 2(x - 1)$y−2=2(x−1)，整理为 $2x - y = 0$2x−y=0。在 $x$x 轴、$y$y 轴上的截距分别为 3 和 $-2$−2：$\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{-2} = 1$3x​+−2y​=1，两边乘 6 得 $2x - 3y - 6 = 0$2x−3y−6=0。