概率

本节导读

概率题的特点是：题目读起来是生活场景，答案是一个 0 到 1 之间的数。解题分三步：先判断事件的类型（等可能、互斥、对立、独立），再选公式，最后计算。其中计数部分要用到上一节的排列组合。

试卷里，这部分的考法有：用等可能事件的公式求概率；用互斥和对立事件的关系求「至少」「恰好」这类概率；求相互独立的事件同时发生的概率；还有 $n$n 次独立重复试验中恰好发生 $k$k 次的概率。学完这一节，你应该能分清这几种类型，并写出对应的算式。

随机事件与概率

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。一定发生的事件叫必然事件，概率是 1；一定不发生的事件叫不可能事件，概率是 0。任何事件 $A$A 的概率都满足 $0 \le P(A) \le 1$0≤P(A)≤1。算出来的概率大于 1 或者小于 0，一定是算错了。

等可能事件的概率

一次试验中可能出现的结果有 $n$n 个，并且每个结果出现的可能性相同，事件 $A$A 包含其中的 $m$m 个结果，那么

$$P(A) = \frac{m}{n}$$P(A)=nm​

关键是数清楚总的结果数 $n$n 和事件包含的结果数 $m$m，两个数要用同一个标准去数，常用排列组合来计算。

例如，掷一枚均匀的骰子，出现偶数点的概率是 $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$63​=21​。又如，掷两枚均匀的骰子，把结果看成有序的数对，共有 $6 \times 6 = 36$6×6=36 种，点数之和为 7 的有 $(1, 6)$(1,6)、$(2, 5)$(2,5)、$(3, 4)$(3,4)、$(4, 3)$(4,3)、$(5, 2)$(5,2)、$(6, 1)$(6,1) 共 6 种，概率是 $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$366​=61​。再如，5 件产品中有 2 件次品，任取 2 件，恰有 1 件次品的概率是 $\dfrac{C_2^1 C_3^1}{C_5^2} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$C52​C21​C31​​=106​=53​。

要使用这个公式，每个结果必须等可能。掷两枚骰子，点数之和有 2 到 12 共 11 种取值，但它们出现的可能性不相等，所以不能写成 $\dfrac{1}{11}$111​。

互斥事件与对立事件

不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。如果 $A$A、$B$B 互斥，那么事件 $A + B$A+B（$A$A、$B$B 中有一个发生）的概率等于两者概率的和：

$$P(A + B) = P(A) + P(B)$$P(A+B)=P(A)+P(B)

这个公式可以推广到多个两两互斥的事件。

两个互斥事件，如果必有一个发生，叫对立事件。事件 $A$A 的对立事件记作 $\overline{A}$A，有

$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$P(A)=1−P(A)

对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立。例如袋中有红球、白球、黑球，「取到红球」与「取到白球」互斥，但不是对立，因为还可能取到黑球。

遇到「至少有一个」的问题，常用对立事件：$P(\text{至少有一个}) = 1 - P(\text{一个也没有})$P(至少有一个)=1−P(一个也没有)。例如袋中有 3 个红球和 2 个白球，任取 2 个，至少有 1 个白球的概率：一个白球也没有，即取到 2 个红球，概率是 $\dfrac{C_3^2}{C_5^2} = \dfrac{3}{10}$C52​C32​​=103​，所以所求概率是 $1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$1−103​=107​。

相互独立事件

一个事件发生与否，对另一个事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件。相互独立的事件 $A$A、$B$B 同时发生的概率，等于它们各自概率的乘积：

$$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$$P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

这个公式也可以推广到多个相互独立的事件。如果 $A$A、$B$B 相互独立，那么 $A$A 与 $\overline{B}$B、$\overline{A}$A 与 $B$B、$\overline{A}$A 与 $\overline{B}$B 也相互独立。

例如，甲射中靶的概率是 0.8，乙射中靶的概率是 0.7，两人各射一次，互不影响。两人都射中的概率是 $0.8 \times 0.7 = 0.56$0.8×0.7=0.56；两人都没射中的概率是 $0.2 \times 0.3 = 0.06$0.2×0.3=0.06，所以至少有一人射中的概率是 $1 - 0.06 = 0.94$1−0.06=0.94；恰有一人射中的概率是 $0.8 \times 0.3 + 0.2 \times 0.7 = 0.38$0.8×0.3+0.2×0.7=0.38。三种情形 $0.56 + 0.38 + 0.06 = 1$0.56+0.38+0.06=1，没有遗漏。

互斥和独立是两个不同的概念：互斥事件不会同时发生，求「有一个发生」的概率用加法；独立事件互不影响，求「同时发生」的概率用乘法。