一次函数与二次函数

本节导读

一次函数和二次函数是最基本的两类函数，也是整门课里出现次数最多的函数：不等式要借助二次函数的图像来解，数列的通项公式是一次函数或指数函数，导数的应用题常常以二次函数为背景，解析几何里的抛物线更是二次函数的另一种面孔。

试卷里，一次函数多考图像经过哪几个象限、怎么求解析式；二次函数多考顶点、对称轴、最值和与 $x$x 轴的交点个数。选择题、填空题和解答题里都有它们的身影。学完这一节，你应该能熟练地配方，会在闭区间上求二次函数的最值，会用判别式判断零点个数。

一次函数

形如 $y = kx + b$y=kx+b（$k \ne 0$k=0）的函数叫一次函数。它的图像是一条直线：$k$k 是斜率，决定函数是增还是减；$b$b 是直线与 $y$y 轴交点的纵坐标。令 $y = 0$y=0 得与 $x$x 轴的交点 $\left(-\dfrac{b}{k}, 0\right)$(−kb​,0)。

直线经过哪几个象限，只看 $k$k 和 $b$b 的正负：

$k$k	$b$b	经过的象限	增减
$k \gt 0$k>0	$b \gt 0$b>0	一、二、三	增函数
$k \gt 0$k>0	$b \lt 0$b<0	一、三、四	增函数
$k \lt 0$k<0	$b \gt 0$b>0	一、二、四	减函数
$k \lt 0$k<0	$b \lt 0$b<0	二、三、四	减函数

求一次函数的解析式用待定系数法：设 $y = kx + b$y=kx+b，把已知的两个点（或一个点加斜率）代入，列方程求出 $k$k 和 $b$b。

二次函数的解析式与图像

三种形式

形如 $y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c（$a \ne 0$a=0）的函数叫二次函数，它有三种常用的写法：

形式	表达式	能直接看出什么
一般式	$y = ax^2 + bx + c$y=ax2+bx+c	$y$y 轴截距 $c$c
顶点式	$y = a(x - h)^2 + k$y=a(x−h)2+k	顶点 $(h, k)$(h,k)，对称轴 $x = h$x=h
交点式	$y = a(x - x_1)(x - x_2)$y=a(x−x1​)(x−x2​)	与 $x$x 轴的交点 $(x_1, 0)$(x1​,0)、$(x_2, 0)$(x2​,0)

图像是抛物线：$a \gt 0$a>0 开口向上，$a \lt 0$a<0 开口向下，$\lvert a \rvert$∣a∣ 越大开口越窄。一般式的对称轴是 $x = -\dfrac{b}{2a}$x=−2ab​，顶点是

$$\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$$(−2ab​, 4a4ac−b2​)

不用记第二个坐标，把对称轴的 $x$x 值代回函数求 $y$y 就行。更稳的办法是配方，例如 $y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1$y=x2−4x+3=(x−2)2−1，一眼看出顶点是 $(2, -1)$(2,−1)。如果二次项系数不是 1，要先提出来再配方：$y = 2x^2 - 8x + 3 = 2(x - 2)^2 - 5$y=2x2−8x+3=2(x−2)2−5。

待定系数法

求二次函数解析式，先看条件选形式：已知任意三点，用一般式列三元一次方程组；已知顶点和另一个点，用顶点式，只剩一个未知数 $a$a；已知与 $x$x 轴的两个交点和另一个点，用交点式。选对形式，计算量能少一大半。

二次函数的最值

在整个定义域 $\mathbf{R}$R 上，最值就出现在顶点：

开口	最值	值域
$a \gt 0$a>0	顶点处取最小值 $\dfrac{4ac - b^2}{4a}$4a4ac−b2​，没有最大值	$\left[\dfrac{4ac - b^2}{4a}, +\infty\right)$[4a4ac−b2​,+∞)
$a \lt 0$a<0	顶点处取最大值 $\dfrac{4ac - b^2}{4a}$4a4ac−b2​，没有最小值	$\left(-\infty, \dfrac{4ac - b^2}{4a}\right]$(−∞,4a4ac−b2​]

在闭区间 $[m, n]$[m,n] 上求最值，要看对称轴 $x = h$x=h 与区间的位置关系。以 $a \gt 0$a>0 为例：

对称轴位置	最小值	最大值
在区间内，$m \le h \le n$m≤h≤n	$f(h)$f(h)	$f(m)$f(m) 与 $f(n)$f(n) 中较大的
在区间左侧，$h \lt m$h<m	$f(m)$f(m)	$f(n)$f(n)
在区间右侧，$h \gt n$h>n	$f(n)$f(n)	$f(m)$f(m)

$a \lt 0$a<0 时把最大值和最小值的位置互换即可。例如 $f(x) = x^2 - 2x + 3$f(x)=x2−2x+3 在 $[0, 3]$[0,3] 上：对称轴 $x = 1$x=1 在区间内，最小值 $f(1) = 2$f(1)=2；两端点 $f(0) = 3$f(0)=3，$f(3) = 6$f(3)=6，最大值是 6。

应用题也常用这个方法。例如用 40 米长的篱笆围一块一面靠墙的矩形菜地，设垂直于墙的一边长为 $x$x 米，则平行于墙的一边长为 $40 - 2x$40−2x，面积 $S = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$S=x(40−2x)=−2x2+40x，当 $x = 10$x=10 时面积最大，最大值是 200 平方米。

二次函数与一元二次方程

使函数值 $f(x) = 0$f(x)=0 的实数 $x$x 叫函数的零点，它就是图像与 $x$x 轴交点的横坐标，也是方程 $f(x) = 0$f(x)=0 的实数根。零点的个数由判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$Δ=b2−4ac 决定：

判别式	方程的根	图像与 $x$x 轴
$\Delta \gt 0$Δ>0	两个不相等的实数根	有两个交点
$\Delta = 0$Δ=0	两个相等的实数根	有一个交点（顶点在 $x$x 轴上）
$\Delta \lt 0$Δ<0	没有实数根	没有交点

求根公式 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$x=2a−b±Δ​​；两根满足韦达定理：$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$x1​+x2​=−ab​，$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$x1​x2​=ac​。

例如 $y = x^2 - 2x - 3$y=x2−2x−3，$\Delta = 4 + 12 = 16 \gt 0$Δ=4+12=16>0，令 $y = 0$y=0 因式分解得 $(x - 3)(x + 1) = 0$(x−3)(x+1)=0，零点是 $-1$−1 和 $3$3。再如，函数 $y = x^2 - 2x + m$y=x2−2x+m 的图像与 $x$x 轴有两个不同的交点，需要 $\Delta = 4 - 4m \gt 0$Δ=4−4m>0，解得 $m \lt 1$m<1。

易错提醒

• ❌ 配方时忘了先提出二次项系数，把 $y = 2x^2 - 8x + 3$y=2x2−8x+3 写成 $(x - 2)^2 - 5$(x−2)2−5。
  ✅ 应该是 $2(x - 2)^2 - 5$2(x−2)2−5，因为 $2(x - 2)^2 = 2x^2 - 8x + 8$2(x−2)2=2x2−8x+8。
  配完方展开一遍，就能查出来。

• ❌ 对称轴写成 $x = \dfrac{b}{2a}$x=2ab​。
  ✅ 对称轴是 $x = -\dfrac{b}{2a}$x=−2ab​。
  符号错一个，顶点、最值全错。

• ❌ 在闭区间上求最值，只算顶点的函数值。
  ✅ 先看顶点是不是在区间里，再把区间端点的函数值也算出来比较。
  顶点不在区间里时，最值只出现在端点。

• ❌ 计算 $\Delta$Δ 时漏掉 $b$b 的平方，或者 $c$c 为负数时符号出错。
  ✅ 代入时给每个数加括号：$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 16$Δ=(−2)2−4×1×(−3)=16。
  减去一个负数，要变成加。

• ❌ 「图像与 $x$x 轴有交点」就是 $\Delta \gt 0$Δ>0。
  ✅ 有交点包括 $\Delta = 0$Δ=0 的相切情形，即 $\Delta \ge 0$Δ≥0。
  「两个不同的交点」才是 $\Delta \gt 0$Δ>0，读清题。

例题精讲

例题 1

一次函数 $y = -2x + 3$y=−2x+3 的图像不经过

A. 第一象限　　B. 第二象限　　C. 第三象限　　D. 第四象限

答案：C

解析：$k = -2 \lt 0$k=−2<0，$b = 3 \gt 0$b=3>0，图像经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限。也可以直接找特殊点：与 $y$y 轴交于 $(0, 3)$(0,3)，与 $x$x 轴交于 $\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)$(23​,0)，直线从左上往右下，穿过的是一、二、四象限。

例题 2

函数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$f(x)=x2−4x+5 在区间 $[3, 5]$[3,5] 上的最小值是

A. $1$1　　B. $2$2　　C. $5$5　　D. $10$10

答案：B

解析：配方，$f(x) = (x - 2)^2 + 1$f(x)=(x−2)2+1，对称轴 $x = 2$x=2，顶点处的最小值是 1。但 $[3, 5]$[3,5] 在对称轴的右侧，函数在这个区间上递增，最小值在左端点：$f(3) = 9 - 12 + 5 = 2$f(3)=9−12+5=2。A 是整个定义域上的最小值，题目问的是区间上的，不能直接用。

例题 3

已知二次函数的图像经过点 $(0, 3)$(0,3)，顶点是 $(1, 2)$(1,2)，则这个函数的解析式是

A. $y = x^2 - 2x + 3$y=x2−2x+3　　B. $y = x^2 + 2x + 3$y=x2+2x+3　　C. $y = -x^2 + 2x + 3$y=−x2+2x+3　　D. $y = 2x^2 - 4x + 3$y=2x2−4x+3

答案：A

解析：已知顶点，用顶点式：设 $y = a(x - 1)^2 + 2$y=a(x−1)2+2。代入点 $(0, 3)$(0,3)，得 $a + 2 = 3$a+2=3，$a = 1$a=1，所以 $y = (x - 1)^2 + 2 = x^2 - 2x + 3$y=(x−1)2+2=x2−2x+3。B 的顶点是 $(-1, 2)$(−1,2)，C 的顶点是 $(1, 4)$(1,4)，D 的顶点是 $(1, 1)$(1,1)，都不对。

本节小结

• 一次函数 $y = kx + b$y=kx+b：$k$k 决定增减，$b$b 是 $y$y 轴截距；象限由 $k$k、$b$b 的正负决定；解析式用待定系数法。
• 二次函数有一般式、顶点式、交点式；对称轴 $x = -\dfrac{b}{2a}$x=−2ab​，配方是求顶点最稳的办法。
• 全体实数上，$a \gt 0$a>0 有最小值，$a \lt 0$a<0 有最大值，都在顶点；闭区间上要比较顶点与端点的位置。
• 零点就是图像与 $x$x 轴交点的横坐标；$\Delta \gt 0$Δ>0 两个，$\Delta = 0$Δ=0 一个，$\Delta \lt 0$Δ<0 没有。
• 韦达定理：$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$x1​+x2​=−ab​，$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$x1​x2​=ac​。