两直线的位置关系与距离

本节导读

上一节我们会写一条直线的方程，这一节研究两条直线之间的关系：平行、垂直还是相交，交点在哪里，以及点到直线的距离。试卷里，这是平面解析几何的基本功：选择题常考判断位置关系、由平行或垂直求参数、求过某点且平行或垂直于已知直线的直线方程；填空题常考点到直线的距离、两平行线之间的距离；解答题里则把它们作为中间步骤使用，比如用点到直线的距离求圆的半径。

学完这一节，你应该能用斜率或系数判断两直线的位置关系，会设「平行线系」和「垂直线系」快速求方程，会解方程组求交点，并熟练使用距离公式。

两直线的位置关系

用斜率判断

设两条直线的斜率都存在：$l_1$l1​：$y = k_1 x + b_1$y=k1​x+b1​，$l_2$l2​：$y = k_2 x + b_2$y=k2​x+b2​。则：

位置关系	条件
平行	$k_1 = k_2$k1​=k2​ 且 $b_1 \ne b_2$b1​=b2​
重合	$k_1 = k_2$k1​=k2​ 且 $b_1 = b_2$b1​=b2​
垂直	$k_1 k_2 = -1$k1​k2​=−1
相交（不垂直）	$k_1 \ne k_2$k1​=k2​ 且 $k_1 k_2 \ne -1$k1​k2​=−1

另外，如果一条直线的斜率为 0（水平），另一条斜率不存在（竖直），它们也是垂直的；这种情形不能用 $k_1 k_2 = -1$k1​k2​=−1 来判断。

用一般式判断

设 $l_1$l1​：$A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$A1​x+B1​y+C1​=0，$l_2$l2​：$A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$A2​x+B2​y+C2​=0。用系数判断，不用考虑斜率是否存在：

位置关系	条件
平行	$A_1 B_2 - A_2 B_1 = 0$A1​B2​−A2​B1​=0，且两直线不重合
垂直	$A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$A1​A2​+B1​B2​=0

平行的条件是交叉相乘相减等于 0（与向量共线同形），垂直的条件是对应相乘相加等于 0（与向量垂直同形）。

平行线系与垂直线系

与直线 $Ax + By + C = 0$Ax+By+C=0 平行的直线，可以设为 $Ax + By + m = 0$Ax+By+m=0（$m \ne C$m=C）；与它垂直的直线，可以设为 $Bx - Ay + n = 0$Bx−Ay+n=0。这样只剩一个未知数，再代入已知点就能求出。

例如，求过点 $(1, 2)$(1,2) 且与直线 $2x - y + 3 = 0$2x−y+3=0 平行的直线：设 $2x - y + m = 0$2x−y+m=0，代入 $(1, 2)$(1,2) 得 $2 - 2 + m = 0$2−2+m=0，$m = 0$m=0，所以方程是 $2x - y = 0$2x−y=0。再求过同一点且与它垂直的直线：设 $x + 2y + n = 0$x+2y+n=0，代入得 $1 + 4 + n = 0$1+4+n=0，$n = -5$n=−5，所以方程是 $x + 2y - 5 = 0$x+2y−5=0。

含参数的例子：直线 $x + ay + 1 = 0$x+ay+1=0 与 $2x + 4y + 3 = 0$2x+4y+3=0 平行，则 $1 \times 4 - 2a = 0$1×4−2a=0，$a = 2$a=2。此时两条直线是 $x + 2y + 1 = 0$x+2y+1=0 和 $x + 2y + \dfrac{3}{2} = 0$x+2y+23​=0，常数项不同，确实不重合，所以 $a = 2$a=2。若它们垂直，则 $1 \times 2 + a \times 4 = 0$1×2+a×4=0，$a = -\dfrac{1}{2}$a=−21​。

两直线的交点

两条直线的交点同时在两条直线上，所以交点坐标就是方程组的解。联立 $\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 = 0 \end{cases}${A1​x+B1​y+C1​=0A2​x+B2​y+C2​=0​：有唯一解，两直线相交于一点；无解，两直线平行；有无穷多解，两直线重合。

例如求 $2x + y - 4 = 0$2x+y−4=0 与 $x - y - 2 = 0$x−y−2=0 的交点：两式相加，$3x - 6 = 0$3x−6=0，$x = 2$x=2，代回得 $y = 0$y=0，交点是 $(2, 0)$(2,0)。

距离公式

两点间的距离

平面上两点 $P_1(x_1, y_1)$P1​(x1​,y1​)，$P_2(x_2, y_2)$P2​(x2​,y2​) 之间的距离是

$$\lvert P_1 P_2 \rvert = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$∣P1​P2​∣=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​

它就是向量 $\overrightarrow{P_1 P_2}$P1​P2​​ 的模。例如 $A(1, 2)$A(1,2)，$B(4, 6)$B(4,6) 之间的距离是 $\sqrt{9 + 16} = 5$9+16​=5。

点到直线的距离

点 $P(x_0, y_0)$P(x0​,y0​) 到直线 $Ax + By + C = 0$Ax+By+C=0 的距离是

$$d = \frac{\lvert Ax_0 + By_0 + C \rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$d=A2+B2​∣Ax0​+By0​+C∣​

使用时，先把直线化成右边为 0 的一般式，把点的坐标代入左边取绝对值，再除以 $\sqrt{A^2 + B^2}$A2+B2​。例如点 $(1, 2)$(1,2) 到直线 $3x + 4y - 10 = 0$3x+4y−10=0 的距离是 $\dfrac{\lvert 3 + 8 - 10 \rvert}{5} = \dfrac{1}{5}$5∣3+8−10∣​=51​。