统计初步

本节导读

统计要回答的问题是：怎样用一部分数据去了解整体。这一节分四块：怎样抽取样本（抽样方法）；怎样整理数据（频率分布）；怎样概括数据的集中位置（平均数）；怎样概括数据的波动大小（方差和标准差）。

试卷里，这部分的考法有：判断一个抽样属于哪种方法；用分层抽样或系统抽样算人数、算号码；读频率分布表和直方图，求频率、频数；计算平均数、方差、标准差，以及数据变化后它们怎样变化。题目的计算量不大，重点是记准公式和性质。

总体与抽样方法

所考察对象的全体叫总体，其中每一个考察对象叫个体，从总体中抽取的一部分个体叫样本，样本中个体的个数叫样本容量。样本容量只是一个数，不带单位。例如为了解某校 1000 名学生的身高，从中抽取 100 名测量：总体是这 1000 名学生的身高，个体是每名学生的身高，样本是抽取的 100 名学生的身高，样本容量是 100。

常用的三种抽样方法：

方法	适用情况	做法
简单随机抽样	总体个数较少	逐个随机抽取，常用抽签法、随机数表法
系统抽样	总体个数较多	先分成均衡的几段，再按相同间隔抽取，间隔 $k = \dfrac{N}{n}$k=nN​
分层抽样	总体由差异明显的几部分组成	按各部分所占比例分别抽取

这三种方法有共同点：抽样过程中，每个个体被抽到的可能性都相等，等于 $\dfrac{n}{N}$Nn​，其中 $N$N 是总体个数，$n$n 是样本容量。

系统抽样的步骤：先编号，再算间隔 $k = \dfrac{N}{n}$k=nN​，在第 1 段用简单随机抽样抽出起始号码 $l$l，以后依次抽取 $l + k$l+k，$l + 2k$l+2k，……。如果 $\dfrac{N}{n}$nN​ 不是整数，先随机剔除几个个体，使总数能被 $n$n 整除，再分段。例如从 800 名学生中抽取 40 名，间隔是 $\dfrac{800}{40} = 20$40800​=20；若第 1 段抽到 7 号，则第 3 段抽到 $7 + 2 \times 20 = 47$7+2×20=47 号。

分层抽样中，各层抽取的个数等于该层的个体数乘以抽样比 $\dfrac{n}{N}$Nn​。例如某校高一 400 人，高二 300 人，高三 300 人，共 1000 人，要抽取 100 人，抽样比是 $\dfrac{100}{1000} = \dfrac{1}{10}$1000100​=101​，三个年级分别抽取 40 人、30 人、30 人。

频率分布

整理数据的一般步骤：求出数据的最大值与最小值之差（极差）；决定组距与组数；分组；统计各组的频数，列出频率分布表；画频率分布直方图。

几个基本关系：

• 频数：落在某一组内的数据个数。
• 频率：$\text{频率} = \dfrac{\text{频数}}{\text{样本容量}}$频率=样本容量频数​。各组频率之和等于 1，各组频数之和等于样本容量。
• 直方图：横轴表示数据的分组，纵轴表示 $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$组距频率​。每个小矩形的面积等于组距乘以高，也就是该组的频率，所有小矩形的面积之和等于 1。

例如样本容量是 50，某一组的频数是 10，这一组的频率是 $\dfrac{10}{50} = 0.2$5010​=0.2。如果组距是 5，这一组对应的小矩形的高是 $\dfrac{0.2}{5} = 0.04$50.2​=0.04。反过来，如果组距是 10，某个小矩形的高是 0.03，那么这一组的频率是 $0.03 \times 10 = 0.3$0.03×10=0.3。

读直方图时，先看纵轴的含义：高度不是频率，面积才是频率。

样本平均数

设样本的 $n$n 个数据是 $x_1$x1​，$x_2$x2​，……，$x_n$xn​，样本平均数是

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$xˉ=nx1​+x2​+⋯+xn​​

例如数据 2，3，5，6，9 的平均数是 $\dfrac{2 + 3 + 5 + 6 + 9}{5} = 5$52+3+5+6+9​=5。

如果数据中有相同的值，可以用加权的办法：数值 $x_i$xi​ 出现了 $f_i$fi​ 次，则 $\bar{x} = \dfrac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \cdots}{n}$xˉ=nx1​f1​+x2​f2​+⋯​，其中 $n$n 是总个数。例如 80 分的有 3 人，90 分的有 2 人，平均分是 $\dfrac{80 \times 3 + 90 \times 2}{5} = 84$580×3+90×2​=84，不能直接取 80 和 90 的平均数 85。

样本方差与标准差

方差和标准差反映数据的波动大小，数值越大，数据越分散。样本方差是各数据与平均数之差的平方的平均数：

$$s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2\right]$$s2=n1​[(x1​−xˉ)2+(x2​−xˉ)2+⋯+(xn​−xˉ)2]