综合模拟练习与讲评

本节导读

这份综合模拟照本课试卷的结构出题：选择、填空、解答三种题型都有，题量约为整卷的一半，先限时做，做完再看讲评。本节题目为原创模拟题，用来熟悉题型，不是历年试卷的原文。题目覆盖代数、三角、平面解析几何、概率与统计初步四部分，两道解答题一道是三角函数，一道是概率。

使用顺序：先合上讲评，照「题型配比说明」给的分钟数掐表；8 道选择题在本节末尾的练习里，2 道填空和 2 道解答在正文，填空、解答都要在纸上写完整。全部写完再翻讲评自己判分，然后拿第 1 节《考试介绍与备考方法》的时间表，逐块对一对用掉的分钟数。做完这一节，你手里会有一张自己的失分清单：分丢在哪种题型、哪一章，接下来先回哪几节。

题型配比说明

试卷结构照第 1 节的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院公告为准）：满分 150 分，考 120 分钟；选择题 17 道、每道 5 分，计 85 分；填空题 4 道、每道 4 分，计 16 分；解答题 4 道，计 49 分，分值题与题不同。本节按比例取题：

题型	整卷（第 1 节口径）	本节题量	建议用时	考到的内容
选择题	17 道，共 85 分	8 道，在「本节考点练习」	约 19 分钟	集合、函数、三角、直线、抛物线、答题与用时
填空题	4 道，共 16 分	2 道，在正文	约 6 分钟	定义域、直线与圆
解答题	4 道，共 49 分	2 道，在正文	约 28 分钟	三角函数、概率

用时按第 1 节的时间表折算：选择题 17 道约 40 分钟，平均每道两分多钟；填空题每道约 3 分钟；解答题每道 12 至 15 分钟；整卷还要留约 13 分钟检查与涂卡。本节三块合计约 53 分钟，再留约 7 分钟检查，一共约 60 分钟。每做一道，在题号旁写下当时的钟点，事后才算得出每道题花了几分钟。本节小题不标分；解答题照参考答案的得分点逐行判，对一行记一行。

选择题讲评要点

8 道选择题里，5 道考知识点，3 道考答题与用时（解答评价、填空写法、时间复盘）。考知识点的 5 道，解析写明了用的是排除、代入、特殊值中的哪一种办法；8 道都注明了「见第 N 节」。下表只说陷阱设在哪、怎么破，不给答案，答案看练习解析。

类别	陷阱设在哪	破法	回看
集合与不等式	端点取不取得到；交集、并集取错；乘负数不等号没变向	画数轴，拿端点和区间内的一个数代进去排除	第 2、9、10 节
指数、对数比大小	底数大于 1 还是小于 1 决定增减	取两个具体的数代入，先排除，再说出道理	第 7、8、9 节
三角函数的性质	周期对了单调性不对，或反过来	先用周期排除，再在区间里取两个点比较	第 19 节
直线与抛物线	垂直时斜率只取倒数不变号；方程不是标准形式	先代点排除不过点的；先化成标准方程再读 $p$p	第 24、28 节
答题与用时	只看结论判分；结果没化到最简；只看总用时、不看各部分	按步骤逐行核对；化到最简再写；拿第 1 节时间表一块块对	第 1、32 节

错题按表里的类别归档，每道只写一句错因，三选一：公式没记住、计算出错、题干看漏。几种快办法的道理在第 32 节「答题策略」里讲过：排除法先淘汰明显错的选项，代入法把选项代回题目，特殊值法给字母取具体的数，数形结合先画草图。特殊值只能用来排除，留下的那个选项要能说出道理。

非选择题示范

一、填空题

1. 函数 $f(x)=\sqrt{6-x}+\lg(x^2-4)$f(x)=6−x​+lg(x2−4) 的定义域是 ______。
2. 直线 $x+y-1=0$x+y−1=0 被圆 $(x-2)^2+(y-1)^2=9$(x−2)2+(y−1)2=9 截得的弦长是 ______。

答案与讲评（填空题只看结果，要写完整、写成最简形式，见第 32 节）：

1. $(-\infty,-2)\cup(2,6]$(−∞,−2)∪(2,6]。根号下 $6-x\ge0$6−x≥0，得 $x\le6$x≤6；真数 $x^2-4\gt0$x2−4>0，得 $x\lt-2$x<−2 或 $x\gt2$x>2（第 10 节）；两个条件取公共部分。写成「$x\lt-2$x<−2 或 $2\lt x\le6$2<x≤6」也可以（第 1 节例题 2），但 6 取得到、$-2$−2 和 $2$2 取不到，端点错一个就不得分（见第 4、8 节）。
2. $2\sqrt{7}$27​。圆心 $(2,1)$(2,1)，半径 3，圆心到直线的距离 $d=\frac{\lvert2+1-1\rvert}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$d=2​∣2+1−1∣​=2​，弦长 $2\sqrt{9-2}=2\sqrt{7}$29−2​=27​；写成 $\sqrt{28}$28​ 不是最简（见第 25 节）。

二、解答一：三角函数

已知函数 $f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2\cos x$f(x)=2sin(x+6π​)+2cosx。（1）把 $f(x)$f(x) 化成 $A\sin(x+\varphi)$Asin(x+φ) 的形式，并求它的最小正周期和最大值；（2）求 $f(x)$f(x) 在区间 $[0,\pi]$[0,π] 上的最小值。

参考答案（每行一个得分点）：

• 展开：$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$2sin(x+6π​)=2(sinxcos6π​+cosxsin6π​)=3​sinx+cosx。
• 合并：$f(x)=\sqrt{3}\sin x+3\cos x$f(x)=3​sinx+3cosx。
• 辅助角：$\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}$3+9​=23​，$f(x)=2\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sqrt{3}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$f(x)=23​(21​sinx+23​​cosx)=23​sin(x+3π​)。
• 最小正周期 $T=2\pi$T=2π；$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$x=6π​+2kπ（$k\in\mathbf{Z}$k∈Z）时取最大值 $2\sqrt{3}$23​。
• （2）$x\in[0,\pi]$x∈[0,π] 时，$x+\frac{\pi}{3}\in\left[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right]$x+3π​∈[3π​,34π​]，正弦在 $\frac{4\pi}{3}$34π​ 处最小，为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$−23​​。
• 所以 $x=\pi$x=π 时 $f(x)$f(x) 取最小值 $2\sqrt{3}\times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3$23​×(−23​​)=−3。
• 讲评：得分点是展开、合并、辅助角、周期与最大值、相位范围、结论六处；第（2）问先求相位 $x+\frac{\pi}{3}$x+3π​ 的范围，再看正弦图像（见第 18、19 节）。