平面向量的线性运算与坐标表示

本节导读

向量是既有大小又有方向的量，它把几何问题变成了代数运算，在平面解析几何和三角中都有用。这一节讲向量的基本概念、线性运算（加、减、数乘），以及向量的坐标表示。试卷里，这一节的内容多以选择题和填空题的形式出现：用几何方法化简向量的和差；已知坐标，计算向量的加减、数乘、模；由两个向量共线求参数；已知两个端点，求中点坐标。

学完这一节，你应该能分清向量的几个基本概念，会用三角形法则化简向量，会进行坐标运算，会用坐标判断两个向量是否共线。

向量的概念

既有大小又有方向的量叫向量，只有大小没有方向的量叫数量。向量可以用有向线段表示：起点 $A$A，终点 $B$B，记作 $\overrightarrow{AB}$AB，也可以用小写字母 $\vec{a}$a 表示。有向线段的长度叫向量的模，记作 $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert$∣AB∣ 或 $\lvert\vec{a}\rvert$∣a∣。

下面几个概念要分清：

名称	含义
零向量	模为 0 的向量，记作 $\vec{0}$0，方向任意
单位向量	模为 1 的向量，方向可以不同
相等向量	方向相同且模相等的向量，与起点位置无关
相反向量	方向相反且模相等的向量，$\vec{a}$a 的相反向量是 $-\vec{a}$−a
平行（共线）向量	方向相同或相反的非零向量；规定零向量与任意向量平行

特别注意：向量不能比较大小，说「$\vec{a} \gt \vec{b}$a>b」没有意义，能比较大小的是它们的模。

向量的线性运算

加法与减法

向量加法有三角形法则：把第二个向量的起点接在第一个向量的终点上，和向量从第一个的起点指向第二个的终点：

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$AB+BC=AC

口诀是「首尾相接，起点连终点」。两个向量共起点时，可以用平行四边形法则：以它们为邻边作平行四边形，从共同起点出发的对角线就是和向量。

向量减法是加上相反向量，$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$a−b=a+(−b)。几何上，共起点的两个向量相减，差向量从减向量的终点指向被减向量的终点：

$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$$AB−AC=CB

数乘与共线定理

实数 $\lambda$λ 与向量 $\vec{a}$a 的积 $\lambda\vec{a}$λa 是一个向量，模是 $\lvert\lambda\rvert\lvert\vec{a}\rvert$∣λ∣∣a∣；$\lambda \gt 0$λ>0 时与 $\vec{a}$a 同向，$\lambda \lt 0$λ<0 时反向，$\lambda = 0$λ=0 时是零向量。

共线向量定理：若 $\vec{b} \ne \vec{0}$b=0，则 $\vec{a} \parallel \vec{b}$a∥b 的充要条件是存在唯一的实数 $\lambda$λ，使 $\vec{a} = \lambda\vec{b}$a=λb。

例如，$D$D 是 $\triangle ABC$△ABC 中 $BC$BC 边的中点，以 $AB$AB、$AC$AC 为邻边作平行四边形，$AD$AD 正好是它的对角线的一半，所以

$$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right), \qquad \text{即 } \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AD}$$AD=21​(AB+AC),即 AB+AC=2AD

向量的坐标表示

坐标与坐标运算

在平面直角坐标系中，取与 $x$x 轴、$y$y 轴正方向相同的两个单位向量 $\vec{i}$i、$\vec{j}$j​，平面内任一向量 $\vec{a}$a 都可以唯一写成 $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$a=xi+yj​，把有序实数对 $(x, y)$(x,y) 叫做 $\vec{a}$a 的坐标，记作 $\vec{a} = (x, y)$a=(x,y)。

已知 $A(x_1, y_1)$A(x1​,y1​)，$B(x_2, y_2)$B(x2​,y2​)，则向量 $\overrightarrow{AB}$AB 的坐标是终点坐标减去起点坐标：

$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$$AB=(x2​−x1​, y2​−y1​)

设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$a=(x1​,y1​)，$\vec{b} = (x_2, y_2)$b=(x2​,y2​)，坐标运算很简单：

运算	坐标形式
加减	$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2,\ y_1 \pm y_2)$a±b=(x1​±x2​, y1​±y2​)
数乘	$\lambda\vec{a} = (\lambda x_1,\ \lambda y_1)$λa=(λx1​, λy1​)
模	$\lvert\vec{a}\rvert = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$∣a∣=x12​+y12​​
共线	$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$a∥b⟺x1​y2​−x2​y1​=0

例如 $\vec{a} = (2, -1)$a=(2,−1)，$\vec{b} = (-3, 4)$b=(−3,4)：$\vec{a} + \vec{b} = (-1, 3)$a+b=(−1,3)；$2\vec{a} - \vec{b} = (4, -2) - (-3, 4) = (7, -6)$2a−b=(4,−2)−(−3,4)=(7,−6)；$\lvert\vec{a}\rvert = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$∣a∣=4+1​=5​。又如 $A(1, 2)$A(1,2)，$B(4, 6)$B(4,6)：$\overrightarrow{AB} = (3, 4)$AB=(3,4)，$\lvert\overrightarrow{AB}\rvert = \sqrt{9 + 16} = 5$∣AB∣=9+16​=5，这也是两点间的距离。