圆的方程与直线和圆的位置关系

本节导读

圆是平面解析几何里最规则的曲线，也是联系直线和圆锥曲线的桥梁。试卷里，圆的考法有：根据条件写出圆的方程；由方程读出圆心和半径；判断点与圆、直线与圆的位置关系；求直线被圆截得的弦长；求圆的切线方程。题型以选择题和填空题为主，解答题里常和直线结合，考「直线与圆相切、相交」下的参数范围或弦长。

学完这一节，你应该能熟练使用圆的标准方程和一般方程，会把一般方程配方，会用圆心到直线的距离与半径比较来判断位置关系，并会求弦长和切线。

圆的方程

标准方程

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。定点是圆心 $(a, b)$(a,b)，定长是半径 $r$r（$r \gt 0$r>0），圆的标准方程是

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$(x−a)2+(y−b)2=r2

注意方程里 $x$x、$y$y 前面是减号：$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$(x−1)2+(y+2)2=9 的圆心是 $(1, -2)$(1,−2)，半径是 3（不是 9）。圆心在原点时，方程简化为 $x^2 + y^2 = r^2$x2+y2=r2。

一般方程

把标准方程展开整理，得到 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$x2+y2+Dx+Ey+F=0，叫圆的一般方程。反过来配方：

$$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$(x+2D​)2+(y+2E​)2=4D2+E2−4F​

所以当 $D^2 + E^2 - 4F \gt 0$D2+E2−4F>0 时它才表示圆，圆心是 $\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$(−2D​,−2E​)，半径 $r = \dfrac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$r=2D2+E2−4F​​；等于 0 时只是一个点，小于 0 时什么图形也没有。

例如 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$x2+y2−4x+6y−12=0，配方：$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9$(x2−4x+4)+(y2+6y+9)=12+4+9，即 $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$(x−2)2+(y+3)2=25，圆心 $(2, -3)$(2,−3)，半径 5。

求圆的方程

常用待定系数法：设标准方程，列出关于 $a$a、$b$b、$r$r 的方程组。也可以先用几何性质找圆心和半径：圆心在弦的垂直平分线上；以 $A$A、$B$B 为直径的圆，圆心是 $AB$AB 的中点，半径是 $\dfrac{\lvert AB \rvert}{2}$2∣AB∣​。例如以 $A(1, 2)$A(1,2)，$B(5, 6)$B(5,6) 为直径端点：圆心 $(3, 4)$(3,4)，$\lvert AB \rvert = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}$∣AB∣=16+16​=42​，半径 $2\sqrt{2}$22​，方程是 $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 8$(x−3)2+(y−4)2=8。

点与圆的位置关系

点 $P(x_0, y_0)$P(x0​,y0​) 到圆心 $C(a, b)$C(a,b) 的距离 $d$d 与半径 $r$r 比较：$d \lt r$d<r 点在圆内，$d = r$d=r 点在圆上，$d \gt r$d>r 点在圆外。实际计算时可以比较 $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2$(x0​−a)2+(y0​−b)2 与 $r^2$r2 的大小，省去开方。

直线与圆的位置关系

判断方法

设圆心到直线的距离为 $d$d，圆的半径为 $r$r，则

位置关系	$d$d 与 $r$r 的关系	公共点个数
相离	$d \gt r$d>r	0
相切	$d = r$d=r	1
相交	$d \lt r$d<r	2

这是几何法，计算最简单。代数法是把直线方程代入圆的方程，消元后得到一元二次方程，用 $\Delta$Δ 判断：$\Delta \lt 0$Δ<0 相离，$\Delta = 0$Δ=0 相切，$\Delta \gt 0$Δ>0 相交。例如直线 $3x + 4y - 5 = 0$3x+4y−5=0 与圆 $x^2 + y^2 = 1$x2+y2=1：$d = \dfrac{\lvert -5 \rvert}{5} = 1 = r$d=5∣−5∣​=1=r，相切。

弦长

直线与圆相交，截得的弦长等于

$$\lvert AB \rvert = 2\sqrt{r^2 - d^2}$$∣AB∣=2r2−d2​

来源是勾股定理：圆心到弦的垂线平分弦，半弦、$d$d、$r$r 构成直角三角形。例如直线 $x - y + 1 = 0$x−y+1=0 与圆 $(x - 1)^2 + y^2 = 4$(x−1)2+y2=4：圆心 $(1, 0)$(1,0)，$d = \dfrac{\lvert 1 - 0 + 1 \rvert}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \lt 2$d=2​∣1−0+1∣​=2​<2，相交；弦长 $2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$24−2​=22​。

圆的切线

圆的切线垂直于过切点的半径。对圆 $x^2 + y^2 = r^2$x2+y2=r2 上的一点 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​)，过它的切线方程是