指数与指数函数

本节导读

指数是对数的前一站：先把指数的运算规则吃透，再学对数就顺了。在试卷里，指数部分的考法有三类：第一类是计算，把一串带分数指数的数化简求值，通常是选择题或填空题；第二类是考指数函数的图像和性质，比如过哪个定点、是增是减、值域是什么；第三类是用单调性比较大小，或者解简单的指数方程、指数不等式。

学完这一节，你应该能熟练使用指数运算法则，会把根式写成分数指数幂，会画出指数函数的大致图像并说出性质，会用单调性比较大小、解指数方程和不等式。

指数与指数运算

整数指数幂

$a^n$an 表示 $n$n 个 $a$a 相乘，$a$a 叫底数，$n$n 叫指数。规定：$a^0 = 1$a0=1（$a \ne 0$a=0），$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$a−n=an1​（$a \ne 0$a=0）。负指数不是负数，而是取倒数，比如 $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$2−3=81​。

分数指数幂

当 $a \gt 0$a>0，$m$m、$n$n 是正整数且 $n \gt 1$n>1 时，规定

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \qquad a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$$anm​=nam​,a−nm​=anm​1​

读法：分母是开方的次数，分子是乘方的次数。例如 $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$832​=(38​)2=22=4，$16^{-\frac{1}{4}} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{16}} = \dfrac{1}{2}$16−41​=416​1​=21​。计算时先开方再乘方，数字小，不容易错。

运算法则

当 $a \gt 0$a>0，$b \gt 0$b>0，$r$r、$s$s 是任意实数时，下面四条法则都成立：

法则	公式	口诀
同底相乘	$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ar⋅as=ar+s	底不变，指数相加
同底相除	$a^r \div a^s = a^{r-s}$ar÷as=ar−s	底不变，指数相减
幂的乘方	$(a^r)^s = a^{rs}$(ar)s=ars	底不变，指数相乘
积的乘方	$(ab)^r = a^r b^r$(ab)r=arbr	各自乘方再相乘

例如计算 $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}$(827​)−32​：负指数先取倒数，得 $\left(\dfrac{8}{27}\right)^{\frac{2}{3}}$(278​)32​，再开三次方得 $\dfrac{2}{3}$32​，平方得 $\dfrac{4}{9}$94​。

指数函数

定义

形如 $y = a^x$y=ax（$a \gt 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1）的函数叫指数函数，定义域是 $\mathbf{R}$R。它的特点是：底数是一个正常数，指数是自变量 $x$x，系数是 1。所以 $y = 2 \cdot 3^x$y=2⋅3x、$y = x^2$y=x2、$y = (-2)^x$y=(−2)x、$y = 1^x$y=1x 都不是指数函数。

图像与性质

底数 $a$a 的大小分两类，性质如下：

性质	$a \gt 1$a>1	$0 \lt a \lt 1$0<a<1
定义域	$\mathbf{R}$R	$\mathbf{R}$R
值域	$(0, +\infty)$(0,+∞)	$(0, +\infty)$(0,+∞)
定点	过点 $(0, 1)$(0,1)	过点 $(0, 1)$(0,1)
单调性	在 $\mathbf{R}$R 上是增函数	在 $\mathbf{R}$R 上是减函数
$x \gt 0$x>0 时	$y \gt 1$y>1	$0 \lt y \lt 1$0<y<1
$x \lt 0$x<0 时	$0 \lt y \lt 1$0<y<1	$y \gt 1$y>1

图像总是在 $x$x 轴上方，并且以 $x$x 轴为渐近线，向一侧无限靠近它但永远不会碰到。$y = a^x$y=ax 与 $y = \left(\dfrac{1}{a}\right)^x$y=(a1​)x 的图像关于 $y$y 轴对称。

指数函数的应用

比较大小分两种情形。同底数的两个幂，看底数大于 1 还是小于 1 决定单调性，再比指数：$1.5^{0.3} \gt 1.5^{0.2}$1.50.3>1.50.2，因为底数 1.5 大于 1，函数递增，$0.3 \gt 0.2$0.3>0.2。不同底数时，找一个中间量，通常是 1：比较 $2^{0.5}$20.5 与 $0.5^2$0.52，前者大于 1，后者小于 1，所以 $2^{0.5} \gt 0.5^2$20.5>0.52。

解指数方程和不等式，核心是化成同底：$2^{x+1} = 8 = 2^3$2x+1=8=23，得 $x + 1 = 3$x+1=3，$x = 2$x=2。解不等式 $3^{2x-1} \gt 9$32x−1>9，先化成 $3^{2x-1} \gt 3^2$32x−1>32，底数大于 1，指数大小关系不变：$2x - 1 \gt 2$2x−1>2，$x \gt \dfrac{3}{2}$x>23​。如果底数在 0 和 1 之间，不等号要反向。

图像过定点：令指数等于 0。例如 $y = a^{x-1} + 2$y=ax−1+2，令 $x - 1 = 0$x−1=0，得 $x = 1$x=1，此时 $y = 1 + 2 = 3$y=1+2=3，所以恒过点 $(1, 3)$(1,3)，与 $a$a 的值无关。

易错提醒

• ❌ $(a^2)^3 = a^5$(a2)3=a5。
  ✅ 幂的乘方指数相乘，$(a^2)^3 = a^6$(a2)3=a6。
  同底相乘才是指数相加，别把两条法则搞混。

• ❌ $2^{-3} = -8$2−3=−8。
  ✅ $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$2−3=231​=81​。
  负指数表示取倒数，结果不会因为指数是负的就变成负数。

• ❌ 比较 $0.8^{0.5}$0.80.5 与 $0.8^{0.6}$0.80.6 时，认为指数大的值也大。
  ✅ 底数 $0.8 \lt 1$0.8<1，函数递减，指数大的值反而小。
  先看底数在 1 的哪一侧。

• ❌ 解 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \gt 4$(21​)x>4 时，直接得到 $x \gt -2$x>−2。
  ✅ $4 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$4=(21​)−2，底数小于 1，不等号反向，得 $x \lt -2$x<−2。
  底数在 0 和 1 之间时，一定要变号。

• ❌ 把 $y = 2 \cdot 3^x$y=2⋅3x 当成指数函数来用性质。
  ✅ 指数函数的系数必须是 1，$y = 2 \cdot 3^x$y=2⋅3x 过的是点 $(0, 2)$(0,2)，不是 $(0, 1)$(0,1)。
  先看清函数的形式再套性质。

例题精讲

例题 1

计算 $8^{\frac{2}{3}} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} - 3^0$832​+(21​)−2−30 的值是

A. $5$5　　B. $6$6　　C. $7$7　　D. $9$9

答案：C

解析：$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$832​=(38​)2=4；$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$(21​)−2=22=4；$3^0 = 1$30=1。所以原式 $= 4 + 4 - 1 = 7$=4+4−1=7。A 是把 $3^0$30 当成了 3，D 是把减号看成了加号，都是常见的算错。

例题 2

设 $a = 0.8^{0.5}$a=0.80.5，$b = 0.8^{0.6}$b=0.80.6，$c = 1.2^{0.5}$c=1.20.5，则 $a$a、$b$b、$c$c 的大小关系是

A. $a \gt b \gt c$a>b>c　　B. $c \gt a \gt b$c>a>b　　C. $b \gt a \gt c$b>a>c　　D. $c \gt b \gt a$c>b>a

答案：B

解析：先比 $a$a 和 $b$b：同底 $0.8 \lt 1$0.8<1，函数递减，$0.5 \lt 0.6$0.5<0.6，所以 $a \gt b$a>b。再看 $c$c：底数 $1.2 \gt 1$1.2>1 且指数为正，$c \gt 1$c>1；而 $a$a、$b$b 的底数小于 1 且指数为正，都小于 1。所以 $c \gt a \gt b$c>a>b。

例题 3

不等式 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x-1} \ge \dfrac{1}{8}$(21​)2x−1≥81​ 的解集是

A. $x \ge 2$x≥2　　B. $x \le 2$x≤2　　C. $x \ge 1$x≥1　　D. $x \le 1$x≤1

答案：B

解析：$\dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$81​=(21​)3，不等式化为 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x-1} \ge \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$(21​)2x−1≥(21​)3。底数 $\dfrac{1}{2}$21​ 在 0 和 1 之间，函数递减，所以指数的不等号反向：$2x - 1 \le 3$2x−1≤3，$x \le 2$x≤2。

本节小结

• 负指数是取倒数，零次幂等于 1；分数指数 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$anm​=nam​，分母开方、分子乘方。
• 四条运算法则：同底相乘指数加，同底相除指数减，幂的乘方指数乘，积的乘方各自乘。
• 指数函数 $y = a^x$y=ax（$a \gt 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1）：定义域 $\mathbf{R}$R，值域 $(0, +\infty)$(0,+∞)，过点 $(0, 1)$(0,1)；$a \gt 1$a>1 递增，$0 \lt a \lt 1$0<a<1 递减。
• 比较大小先看同底，再借助中间量 1；解指数方程和不等式先化成同底。
• 图像过定点，令指数等于 0。