椭圆

本节导读

圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线，是平面解析几何的重点，在试卷中通常有两三道选择或填空题，外加一道解答题。这一节先学椭圆。椭圆的考法有：由方程求焦点坐标、长轴短轴、离心率；由条件求椭圆的标准方程；用定义解题，比如焦点三角形的周长，椭圆上一点到两个焦点的距离之和。解答题则多是直线与椭圆相交，求弦长或参数，这一类方法会在第 28 节集中讲。

学完这一节，你应该能写出椭圆的定义和两种标准方程，说出 $a$a、$b$b、$c$c 的关系，会判断焦点位置，会求离心率等几何量，并会用待定系数法求椭圆方程。

椭圆的定义

平面内与两个定点 $F_1$F1​、$F_2$F2​ 的距离之和等于常数的点的集合叫椭圆，这两个定点叫焦点，两焦点之间的距离叫焦距。设焦距为 $2c$2c，距离之和为 $2a$2a，要求 $2a \gt 2c$2a>2c。如果 $2a = 2c$2a=2c，轨迹是线段 $F_1 F_2$F1​F2​；如果 $2a \lt 2c$2a<2c，没有这样的点，轨迹不存在。

定义的直接应用：椭圆上任意一点 $P$P 满足 $\lvert PF_1 \rvert + \lvert PF_2 \rvert = 2a$∣PF1​∣+∣PF2​∣=2a。过焦点 $F_1$F1​ 的直线交椭圆于 $A$A、$B$B 两点，那么 $\triangle ABF_2$△ABF2​ 的周长是 $4a$4a，因为 $\lvert AF_1 \rvert + \lvert AF_2 \rvert = 2a$∣AF1​∣+∣AF2​∣=2a，$\lvert BF_1 \rvert + \lvert BF_2 \rvert = 2a$∣BF1​∣+∣BF2​∣=2a。

标准方程

椭圆的标准方程有两种，由焦点所在的坐标轴决定：

焦点位置	标准方程	焦点坐标
在 $x$x 轴上	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​+b2y2​=1（$a \gt b \gt 0$a>b>0）	$F_1(-c, 0)$F1​(−c,0)，$F_2(c, 0)$F2​(c,0)
在 $y$y 轴上	$\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$a2y2​+b2x2​=1（$a \gt b \gt 0$a>b>0）	$F_1(0, -c)$F1​(0,−c)，$F_2(0, c)$F2​(0,c)

其中 $a$a、$b$b、$c$c 满足 $c^2 = a^2 - b^2$c2=a2−b2，$a$a 是最大的一个，叫半长轴，$b$b 叫半短轴。

怎样判断焦点在哪个轴上：看哪一项的分母更大。分母较大的那一项，就是 $a^2$a2，它的变量所在的坐标轴，就是焦点所在的轴。例如 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$25x2​+9y2​=1，$x^2$x2 下的 25 较大，焦点在 $x$x 轴上，$a = 5$a=5，$b = 3$b=3，$c = \sqrt{25 - 9} = 4$c=25−9​=4，焦点是 $(\pm 4, 0)$(±4,0)。又如 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$4x2​+9y2​=1，$y^2$y2 下的 9 较大，焦点在 $y$y 轴上，$a^2 = 9$a2=9，$b^2 = 4$b2=4，$c^2 = 5$c2=5，焦点是 $(0, \pm\sqrt{5})$(0,±5​)。

几何性质

以焦点在 $x$x 轴上的椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$a2x2​+b2y2​=1（$a \gt b \gt 0$a>b>0）为例：

性质	内容
范围	$-a \le x \le a$−a≤x≤a，$-b \le y \le b$−b≤y≤b
对称性	关于 $x$x 轴、$y$y 轴、原点对称
顶点	$(\pm a, 0)$(±a,0)，$(0, \pm b)$(0,±b)
长轴、短轴	长轴长 $2a$2a，短轴长 $2b$2b
焦距	$2c$2c
离心率	$e = \dfrac{c}{a}$e=ac​，$0 \lt e \lt 1$0<e<1

离心率反映椭圆的扁平程度：$e$e 越接近 1，$c$c 越接近 $a$a，$b$b 越小，椭圆越扁；$e$e 越接近 0，椭圆越接近圆。例如 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$25x2​+9y2​=1，$e = \dfrac{4}{5}$e=54​，长轴长 10，短轴长 6，焦距 8。焦点在 $y$y 轴上时，只要把 $x$x 和 $y$y 互换，$a$a 总是较大的那个半轴。

求椭圆的标准方程

用待定系数法，分两步：先定位，确定焦点在哪个轴上；再定量，求出 $a^2$a2 和 $b^2$b2。

例如焦点在 $x$x 轴上，长轴长为 10，焦距为 6：$2a = 10$2a=10，$a = 5$a=5；$2c = 6$2c=6，$c = 3$c=3；$b^2 = a^2 - c^2 = 16$b2=a2−c2=16。方程是 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$25x2​+16y2​=1。

如果焦点位置不确定，可以设成 $mx^2 + ny^2 = 1$mx2+ny2=1（$m \gt 0$m>0，$n \gt 0$n>0，$m \ne n$m=n），代入已知点求出 $m$m、$n$n。例如椭圆经过点 $(2, 0)$(2,0) 和 $(0, 1)$(0,1)：代入得 $4m = 1$4m=1，$n = 1$n=1，所以方程是 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$4x2​+y2=1。